10 bài tập Một số bài toán tổng hợp về tứ giác nội tiếp có lời giải

Đáp án đúng là: D

Do tứ giác ABCP nội tiếp (vì có 4 đỉnh cùng thuộc đường tròn) và

$\widehat {BAP},\widehat {BCP}$ là các góc đối nên $\widehat {BAP} + \widehat {BCP} = 180^\circ$ (1)

Do ABCD là hình bình hành nên CD // AB

suy ra $\widehat {ABC} + \widehat {BCP} = 180^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) ta nhận được $\widehat {BAP} = \widehat {ABC}$.

Mặt khác CP // AB nên ABCP là hình thang cân.

Do đó, đáp án A đúng.

Từ đó, ta suy ra AP = BC (3). Do đó, đáp án C đúng.

Do BC = AD (vì ABCD là hình bình hành) (4)

Từ (3), (4) có AP = AD.

Vậy cả ba đáp án A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có tam giác BCD là tam giác đều nên

$\widehat {BCD} = 60^\circ$ (1).

Mặt khác ∆ABC là tam giác cân tại A có $\widehat {BAC} = 120^\circ$ hơn nữa tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\\\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = 180^\circ \end{array} \right.$, suy ra $\widehat {BCA} = 30^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {DCA} = \widehat {DCB} + \widehat {BCD} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$.

Tương tự ta chứng minh được $\widehat {DBA} = 90^\circ$.

Do đó, ∆ACD vuông tại C nên A, C, D thuộc đường tròn đường kính AD. (3)

∆ABD vuông tại B nên A, B, D thuộc đường tròn đường kính AD. (4)

Từ (3) và (4) suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: D

• Nhận thấy

$\widehat {NEO} = \widehat {NMO} = 90^\circ$ nên

N, E, M, O cùng thuộc một đường tròn đường

kính NO hay tứ giác NEMO nội tiếp.

Do đó, đáp án A đúng.

• Ta có .

Do đó, ∆NEC ᔕ ∆NBE (g.g)

Suy ra $\frac{{NE}}{{NB}} = \frac{{NC}}{{NE}}$ nên NB.NC = NE$^{2}$ .

Do đó, ý b đúng.

• Từ đó suy ra ∆NEH ᔕ ∆NME (c.g.c)

Suy ra $\widehat {NEH} = \widehat {EMN}$. Do đó, ý c đúng.

• Ta có $\widehat {NME} = \widehat {EON}$ (tứ giác NEMO nội tiếp đường tròn) nên $\widehat {NEH} = \widehat {NOE}$.

Mà góc ENO phụ với góc EON nên góc EON cũng phụ với góc NEH.

Suy ra $EH \bot NO$.

Suy ra ∆OEF cân có ON là phân giác.

Xét ∆OEN và ∆OFN có:

$\widehat {NOE} = \widehat {NOF}$ (co ON là phân giác góc EOF).

ON chung (gt)

OE = OF = R (gt)

Do đó, ∆OEN = ∆OFN (c.g.c)

Suy ra $\widehat {NEO} = \widehat {NFO} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng)

Do đó phương án D sai.

Đáp án đúng là: D

• Ta có

$\widehat {MDC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC nên $\widehat {MDC} = 90^\circ$ (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ∆BAC vuông tại A nên A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét ∆BDC vuông tại D nên D, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác A, B, C, D nội tiếp.

• Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD}$ (cùng nhìn đoạn AD).

Do đó, phương án B đúng.

Xét đường tròn đường kính MC ta có 4 điểm M, C, D, S cùng thuộc đường tròn nên tứ giác MCSD là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $\widehat {MDA} = \widehat {SCM}$ (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) (1)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) nên $\widehat {ACB} = \widehat {ADB}$ (cùng nhìn đoạn AB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {BCA} = \widehat {ACS}$ $\left( { = \widehat {ADB}} \right)$

Hay CA là phân giác của $\widehat {SCB}$. Do đó, ý C đúng.

• Giả sử tứ giác ABCS là tứ giác nội tiếp thì $\widehat {ASB} = \widehat {BCA}$ (hai góc cùng nhìn đoạn AB)

Mà $\widehat {BCA} = \widehat {BDA}$; $\widehat {BDA} \ne \widehat {BSA}$ (xét trong đường tròn đường kính CM).

Suy ra $\widehat {BCA} \ne \widehat {BSA}$, do đó tứ giác ABCS không nội tiếp.

Do đó, ý D sai.

Đáp án đúng là: C

Theo đề, ta có:

$\widehat {DBA} = \widehat {ACD} = 90^\circ$ nên chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AD.

Suy ra tứ giác ABDC nội tiếp.

Lại có ∆ABC cân tại A có $\widehat {BAC} = 130^\circ$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ - 130^\circ }}{2} = 25^\circ$.

Ta có: $\widehat {BDC} + \widehat {ABC} = 90^\circ$ nên $\widehat {BDC} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$.

Từ đó suy ra tam giác BCD cân tại D nên đáp án A đúng.

Xét tứ giác ABDC nội tiếp nên $\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = 180^\circ$, suy ra $\widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 50^\circ$ nên D đúng.

Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác ABDC là hình thoi.