10 bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm có lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = S'(t) = −3t$^{2}$ + 6t = −3(t$^{2}$ – 2t + 1) + 3 = −3(t – 1)$^{2}$ + 3 ≤ 3.

Dấu “=” xảy ra khi t = 1.

Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi t = 1.

Đáp án đúng là: D

Ta có: v = s' = −t$^{2}$ + 12t; v' = −2t + 12; v' = 0 $\Leftrightarrow$ t = 6.

Bảng biến thiên

Nhìn bảng biến thiên ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 6.

Giá trị lớn nhất là v(6) = 36 m/s.

Đáp án đúng là: B

Ta có v = S' = −t$^{2}$ + 8t + 9, t ∈ (0; 10).

Có v' = −2t + 8; v' = 0 $\Leftrightarrow$ t = 4 ∈ (0; 10).

Bảng biến thiên:

Vậy vận tốc lớn nhất của chất điểm là 25 m/s tại t = 4.

Đáp án đúng là: A

Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 < a, b $\le$ 48

Ta có: $ab = 48 \Leftrightarrow b = \frac{{48}}{a}$. Chu vi: $P\left( a \right) = 2\left( {a + \frac{{48}}{a}} \right)$.

Có $P'\left( a \right) = 2\left( {1 - \frac{{48}}{{{a^2}}}} \right);P'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 4\sqrt 3$.

Bảng biến thiên:

Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là $16\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: A

Giả sử độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng

x ($0 < x < \frac{{15}}{2}$).

Khi đó hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng x, chiều rộng bằng 15 – 2x và chiều dài bằng 24 – 2x.

Suy ra hình hộp chữ nhật có thể tích V = x(15 – 2x)(24 – 2x) = 4x$^{3}$ – 78x$^{2}$ + 360x.

Xét hàm f(x) = 4x$^{3}$ – 78x$^{2}$ + 360x trên $\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)$.

Có f'(x) = 12x$^{2}$ – 156x + 360 = 0 x = 3 hoặc x = 10.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)$ tại x = 3 hay hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất khi độ dài cạnh hình vuông của miếng tôn bị cắt bỏ bằng 3 cm.

Đáp án đúng là: A

Gọi x (m), y (m) (x > 0, y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.

Theo giả thiết ta có 0,6xy = 0,096 $\Rightarrow y = \frac{4}{{25x}}$.

Ta có diện tích mặt đáy là $xy = x.\frac{4}{{25x}} = 0{,}16$.

Giá tiền làm kính mặt đáy là 0,16.100000 = 16000 đồng.

Diện tích xung quanh bể là 2x.0,6 + 2y.0,6 = $1{,}2\left( {x + \frac{{0{,}16}}{x}} \right)$.

Giá tiền làm kính các mặt xung quanh là $1{,}2\left( {x + \frac{{0{,}16}}{x}} \right).70000 = 84000\left( {x + \frac{{0{,}16}}{x}} \right)$ (đồng).

Tổng chi phí là $f\left( x \right) = 84000\left( {x + \frac{{0{,}16}}{x}} \right) + 16000 \ge 84000.2\sqrt {x.\frac{{0{,}16}}{x}} + 16000 = 83200$ đồng.

Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá bằng 83200 đồng.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = (0; +∞).

Có $c'\left( t \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{t^2} + 1}}$; c'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 1 (vì t > 0).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.

Đáp án đúng là: B

Số tiền hãng thu được khi đại lí nhập x chiếc điện thoại là f(x) = x(6000 – 3x).

Ta có: f'(x) = −6x + 6000. Khi đó, f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1000.

Bảng biến thiên của hàm số f(x) là:

Vậy đại lí nhập cùng lúc 1000 chiếc điện thoại thì hãng có thể thu nhiều tiền nhất từ đại lí đó với 3 000 000 (nghìn đồng).

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh đáy và chiều cao hộp quà lần lượt là x (cm) và y (cm) (x > 0, y > 0).

Theo giả thiết, ta có: 2x$^{2}$ + 4xy = 200 $\Rightarrow y = \frac{{50}}{x} - \frac{x}{2}$ và x < 10 (vì y > 0).

Xét hàm số $V(x) = {x^2}\left( {\frac{{50}}{x} - \frac{x}{2}} \right) = 50x - \frac{1}{2}{x^3}\left( {0 < x < 10} \right)$ là thể tích của hộp quà mà bạn Hoa gấp được.

Ta có: $V'\left( x \right) = 50 - \frac{3}{2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{100}}{3}}$.

Bảng biến thiên của hàm số V(x) là:

Vậy bạn Hoa có thể gấp hộp quà có thể tích lớn nhất là $V\left( {\sqrt {\frac{{100}}{3}} } \right) \approx 192(c{m^3}).$

Đáp án đúng là: A

Giả sử có n máy in thì chi phí cố định là 50n (n = {1; 2; 3; …; 8}).

Để in 50000 tờ cần $\frac{{50000}}{{3600n}} = \frac{{125}}{{9n}}$ (giờ in).

Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n +10) nghìn đồng.

Khi đó tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là:

$f\left( n \right) = 50n + \frac{{10\left( {6n + 10} \right).125}}{{9n}} = \frac{{450{n^2} + 7500n + 12500}}{{9n}}$.

Để lãi là nhiều nhất thì tổng chi phí là thấp nhất, vậy ta tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí.

Thay các giá trị n ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ta thấy giá trị nhỏ nhất là $f\left( 5 \right) = \frac{{12250}}{9}$.