10 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến hình cầu có lời giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính của quả bóng là: 24 : 2 = 12 (cm).

Diện tích da cần dùng chính là tính diện tích bề mặt hình cầu.

Do đó, ta có diện tích da cần dùng để chế tạo bóng là: 4.3,14.12$^{2}$ = 1 808,64 (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Bán kính của quả pha lê đó là: $\sqrt {144\pi :4\pi }$ = 6 (cm)

Thể tích của quả pha lê đó là: $\frac{4}{3}\pi {.6^3} = 288\pi$ (cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: D

Bán kính của tháp nước đó là; 6 : 2 = 3 (m).

Thể tích của tháp nước đó là: $\frac{4}{3}\pi {.3^3} = 36\pi$ (m$^{3}$).

Đáp án đúng là: A

Ta có, với π = 3,14 thì thể tích của bể đó là: 3,14.36 = 113,04 (m$^{3}$)

Đổi 113,04 m$^{3}$ = 113 040 lít.

Do đó, một ngày khu dân cư đó dùng hết số nước là:

113 040 : 5 = 22 608 (lít)

Suy ra một ngày bình quân mỗi người dùng hết số lít nước là:

22 608 : 1304 ≈ 17,34 (lít).

Đáp án đúng là: C

Gọi R là bán kính của quả bóng rổ (R > 0).

Ta có công thức tính diện tích bề mặt của quả bóng rổ hình cầu là:

S = 4πR$^{2}$ (cm$^{2}$).

Theo bài, diện tích bề mặt của quả bóng rổ khoảng 1 884,75 cm$^{2}$ nên ta có:

4πR$^{2}$ = 1 884,75 nên R$^{2}$ = 1 884,75 : 4π = $\frac{{7539}}{{16\pi }}$.

Suy ra R = $\sqrt {\frac{{7539}}{{16\pi }}} = \frac{{\sqrt {7539\pi } }}{{4\pi }}$ (cm).

Vì bán kính của quả bóng rổ gấp khoảng 2 lần đường kính của quả bóng tennis nên đường kính của quả bóng tennis là: $\frac{{\sqrt {7539\pi } }}{{4\pi }}$ : 2 = $\frac{{\sqrt {7539\pi } }}{{8\pi }}$ (cm).

Do đó, bán kính của quả bóng tennis là: $\frac{{\sqrt {7539\pi } }}{{8\pi }}$ : 2 = $\frac{{\sqrt {7539\pi } }}{{16\pi }}$ (cm).

Suy ra diện tích bề mặt của quả bóng tennis đó là:

4π. ${\left( {\frac{{\sqrt {7539\pi } }}{{16\pi }}} \right)^2} = \frac{{4\pi .7539\pi }}{{256{\pi ^2}}} = \frac{{7539}}{{64}} \approx 117{,}8$ (cm $^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối H$_{1}$ là: ${V_1} = \frac{4}{3}\pi .r_1^3$ (cm$^{3}$).

Thể tích khối H$_{2}$ là: ${V_2} = \frac{4}{3}\pi .r_2^3 = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{1}{2}{r_1}} \right)^3} = \frac{1}{6}\pi r_1^3$ (cm$^{3}$).

Mà thể tích toàn bộ khối đồ chơi bằng 180π cm$^{3}$ nên ta có:

$\frac{4}{3}\pi .r_1^3 + \frac{1}{6}\pi r_1^3 = 180\pi$ hay $\frac{3}{2}\pi r_1^3 = 180\pi$ nên $r_1^3 = 120$.

Suy ra thể tích khối cầu H$_{1}$ là: ${V_1} = \frac{4}{3}\pi .r_1^3 = \frac{4}{3}\pi .120 = 160\pi$ (cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: D

Mặt cắt là hình tròn tâm K đường kính AB (OC ⊥ AB tại K).

Theo đề, ta có KC = 8 cm, AB = 24 cm.

Do đó, KA = KB = 24 : 2 = 12 cm.

Gọi R là bán kính của quả địa cầu.

Áp dúng định lý Pythagore vào tam giác OAK, có:

OK$^{2}$ + AK$^{2}$ = OA$^{2}$ nên (R – 8)$^{2}$ + 12$^{2}$ = R$^{2}$

Suy ra R$^{2}$ – 16R + 64 + 144 = R$^{2}$ hay 16R = 208 suy ra R = 13 (cm).

Đáp án đúng là: B

Diện tích bề mặt của quả địa cầu là:

S = 4πR$^{2}$ = 4π.13$^{2}$ = 676π (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: A

Gọi R là bán kính Trái đất, r là bán kính của vĩ tuyến 20° qua Thanh Hóa.

Ta có: $\widehat {BOA} = \widehat {OBH} = 20^\circ$.

Xét tam giác HBO vuông tại H có $\widehat {OBH} = 20^\circ$, OB = 6370 km.

Do đó, HO = sin20°.6370 ≈ 2178,7 (km).

Đáp án đúng là: C

(Phần màu nhạt là phần giao nhau của hai khối cầu).

Gọi h là chiều cao của chỏm cầu.

Ta có: $h = \frac{{2R - d}}{2} = \frac{{2.25 - 40}}{2} = 5$ cm.

(d là khoảng cách giữa hai tâm)

Diện tích xung quanh của chỏm cầu làm: S = 2πRh.

Vì hai khối cầu bằng nhau nên hai hình chỏm cầu bằng nhau.

Diện tích xung quanh khối trang sức bằng hai lần diện tích xung quanh khối cầu trừ hai lần diện tích xung quanh chỏm cầu.

Ta có diện tích xung quanh khối cầu là: 4πR$^{2}$ = 2 500π (cm$^{2}$).

Diện tích xung quanh chỏm cầu là: 2πRh = 2.π.25.5 = 250π (cm$^{2}$).

Do đó, diện tích xung quanh khối trang sức là:

2.2 500π – 2.250π = 4 500π = 14 130 (cm$^{2}$).

Đổi 14 130 cm$^{2}$ = 1,413 m$^{2}$.

Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức là:

1,413.470 000 = 664 110 (đồng).