10 Bài tập Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Hằng đẳng thức đúng là: a$^{3}$ – b$^{3}$ = (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

8x$^{3}$ – 27y$^{3}$ = (2x)$^{3}$ – (3y)$^{3}$

= (2x – 3y)[(2x)$^{2}$ + 2x.3y + (3y$^{2}$)]

= (2x – 3y)[(2x)$^{2}$ + 6xy + (3y$^{2}$)]

= (2x – 3y)(4x$^{2}$ + 6xy + 9y$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Hằng đẳng thức a$^{3}$ – b$^{3}$ = (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) đúng.

(–a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) = – (a + b) (a$^{2}$ + ab + b$^{2}$)

= – (a$^{3}$ + a$^{2}$b + ab$^{2}$ + a$^{2}$b + ab$^{2}$ + b$^{3}$)

= – (a$^{3}$ + 2a$^{2}$b + 2ab$^{2}$ + b$^{3}$)

= – a$^{3}$ – 2a$^{2}$b – 2ab$^{2}$ – b$^{3}$ ≠ b$^{3}$ – a$^{3}$.

– (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) = – (a$^{3}$ – b$^{3}$) = b$^{3}$ – a$^{3}$.

(–a + b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) = (b – a) (b$^{2}$ + ab + a$^{2}$) = b$^{3}$ – a$^{3}$.

Đáp án đúng là: C

$$\left( {\frac{x}{3} - 6} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{9} + 2x + 36} \right)$$

$$= \left( {\frac{x}{3} - 6} \right)\left[ {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}}} \right) + \frac{x}{3}.6 + {6^2}} \right]$$

$= {\left( {\frac{x}{3}} \right)^3} - {6^3}$$= \frac{{{x^3}}}{{27}} - 216$.

Đáp án đúng là: A

$$\frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{{y^3}}}{{64}} = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} - {\left( {\frac{y}{4}} \right)^3}$$

$$= \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left[ {{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^2} + \frac{2}{x}.\frac{y}{4} + {{\left( {\frac{y}{4}} \right)}^2}} \right]$$

$= \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{y}{{2x}} + \frac{{{y^2}}}{{16}}} \right)$.

Vậy $\frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{{y^3}}}{{64}} = \left( {\frac{2}{x} - \frac{4}{y}} \right)\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{y}{{2x}} + \frac{{{y^2}}}{{16}}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

$$C = \left( {2x - \frac{1}{3}} \right)\left( {4{x^2} + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}} \right)$$

$$= \left( {2x - \frac{1}{3}} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.\frac{1}{3} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right]$$

$= {\left( {2x} \right)^3} - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$$= 8{x^3} - \frac{1}{{27}}$.

Thay $x = \frac{1}{3}$ vào biểu thức C, ta được:

$C = 8.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = \frac{8}{{27}} - \frac{1}{{27}} = \frac{7}{{27}}$.

Vậy tại $x = \frac{1}{3}$ thì giá trị biểu thức C bằng $\frac{7}{{27}}$.

Đáp án đúng là: C

(x – 2)(x + 2)(x$^{2}$ + 2x + 4)(x$^{2}$ – 2x + 4)

= (x – 2))(x$^{2}$ + 2x + 4) (x + 2)(x$^{2}$ – 2x + 4)

= (x – 2))(x$^{2}$ + 2x + 2$^{2}$) (x + 2)(x$^{2}$ – 2x + 2$^{2}$)

= (x$^{3}$ – 2$^{3}$)(x$^{3}$ + 2$^{3}$) = (x$^{3}$ – 8)(x$^{3}$ + 8)

= (x$^{3}$)$^{2}$ – 8$^{2}$= x$^{6}$ – 64.

Đáp án đúng là: B

I = (a + b)(a$^{2}$ – ab + b$^{2}$) – (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$)

= (a$^{3}$ + b$^{3}$) – (a$^{3}$ – b$^{3}$)

= a$^{3}$ + b$^{3}$ – a$^{3}$ + b$^{3}$= 2b$^{3}$.

Đáp án đúng là: B

B = x$^{3}$ – y$^{3}$ – (x – y)$^{2}$

= (x – y)(x$^{2}$ + xy + y$^{2}$) – (x – y)$^{2}$

= (x – y)(x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$ + 3xy) – (x – y)$^{2}$

= (x – y)[(x – y)$^{2}$ + 3xy] – (x – y)$^{2}$

Thay x – y = 3 và xy = 4 vào biểu thức B, ta được:

B = 3.(3$^{2}$ + 3.4) – 3$^{2}$ = 3.21 – 9

= 3.(9 + 12) – 9 = 63 – 9 = 54.

Đáp án đúng là: A

(a + 3b)(a$^{2}$ – 3ab + b$^{2}$) – (3a – b)(9a$^{2}$ + 3ab + b$^{2}$)

= (a + 3b)(a$^{2}$ – 3ab + b$^{2}$) – (3a – b)[(3a)$^{2}$ + 3ab + b$^{2}$]

= a$^{3}$ + (3b)$^{3}$ – [(3a)$^{3}$ – b$^{3}$] = a$^{3}$ + 27b$^{3}$ – (27a$^{3}$ – b$^{3}$)

= a$^{3}$ + 27b$^{3}$ – 27a$^{3}$ + b$^{3}$= – 26a$^{3}$ + 28b$^{3}$.