10 Bài tập Lập phương trình đường tròn (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm I(3; –7), bán kính R = 3 có phương trình là (x – 3)$^{2}$ + (y + 7)$^{2}$ = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó I(2; 1).

Suy ra $\overrightarrow{IA}=(-3;-3)$ nên $IA=\sqrt{{(-3)}^{2}+{(-3)}^{2}}=3\sqrt{2}.$

Đường tròn đường kính AB có tâm I(2; 1), bán kính R = IA = $3\sqrt{2}.$

Do đó phương trình đường tròn đường kính AB là (x – 2)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 18.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Với I(3; –7) và A(–3; –1) ta có $\overrightarrow{IA}=(-6;6)$ nên $IA=\sqrt{{(-6)}^{2}+{6}^{2}}=6\sqrt{2}.$

Đường tròn tâm I(3; –7) đi qua A(–3; –1) nên có bán kính R = IA = $6\sqrt{2}$.

Do đó phương trình đường tròn tâm I(3; –7) đi qua A(–3; –1) là: (x – 3)$^{2}$ + (y + 7)$^{2}$ = 72.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0 (với a$^{2}$ + b$^{2}$ – c > 0).

Đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}1+49-2a-14b+c=0 \\ 4+36+4a-12b+c=0 \\ 25+1-10a+2b+c=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2a+14b-c=50 \\ 4a-12b+c=-40 \\ 10a-2b-c=26\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=1 \\ b=2 \\ c=-20\end{matrix}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x – 4y – 20 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C$_{1}$) có tâm I(1; 2) nên đường tròn (C) có tâm là I(1; 2).

Với I(1; 2) và A(3; 4), ta có $\overrightarrow{IA}=(2;2)$ nên $IA=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}.$

Đường tròn (C) đi qua điểm A(3; 4) nên bán kính đường tròn là R = IA = $2\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với đường thẳng Δ nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm I(3; –2) đến Δ: x – 2y + 3 = 0 và bằng: $R=d(I,Δ)=\frac{|3-2\cdot (-2)+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{(-2)}^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 3)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do tâm I nằm trên đường thẳng x + y = 0 nên I có tọa độ là I(a; –a), điều kiện a > 0.

Đường tròn (C) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với các trục tọa độ nên:

d(I, Ox) = d(I, Oy) = 3 ⇔ |a| = 3. Ta tìm được a = 3 hoặc a = –3.

Do a > 0 nên a = 3. Vậy tọa độ điểm I là I(3; –3).

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 3)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi giao điểm của đường thẳng Δ và (C) là A, B và H là hình chiếu của I trên AB.

Khi đó d(I, Δ) = IH = $\frac{|3\cdot 1+4\cdot 1+13|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{20}{5}=4$.

Do (C) cắt Δ theo một dây cung có độ dài bằng 8 nên AB = 8.

Vì IH ⊥ AB nên H là trung điểm của AB. Do đó $HB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 8=4.$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông IHB ta có:

IB$^{2}$ = IH$^{2}$ + HB$^{2}$ tức là R$^{2}$ = 4$^{2}$ + 4$^{2}$ = 32.

Do đó phương trình của (C) là :

(x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 32 hay x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x – 2y – 30 = 0.