10 Bài tập Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

$\underset{x\rightarrow 3}{\lim }({x}^{2}+x+5)={3}^{2}+3+5=17$.

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{3x-5}{{(x-2)}^{2}}$ = +∞ vì $\{\begin{matrix}\begin{matrix}\underset{x\rightarrow 2}{\lim }(3x-5)=1>0 \\ \underset{x\rightarrow 2}{\lim }{(x-2)}^{2}=0\end{matrix} \\ (x-2)>0\forall x\ne 2\end{matrix}$

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }({x}^{4}+2{x}^{2}+3)=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }{x}^{4}(1+\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{3}{{x}^{4}})=+\infty$

Vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }{x}^{4}=+\infty \\ \underset{x\rightarrow \infty }{\lim }(1+\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{3}{{x}^{4}})=1>0\end{matrix}$

Đáp án đúng là: D

$\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{{x}^{2}-5x+6}{{x}^{2}-6x+8}=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-4)}=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{x-3}{x-4}=\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: D

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{{x}^{2}}+\sqrt[3]{x}+1)}$

$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{{x}^{2}}+\sqrt[3]{x}+1}=\frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: D

$\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{{x}^{2}-5x+6}{{x}^{2}-6x+8}=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{\frac{{x}^{2}-5x+6}{{x}^{2}}}{\frac{{x}^{2}-6x+8}{{x}^{2}}}=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{{x}^{2}}}{1-\frac{6}{x}+\frac{8}{{x}^{2}}}=1$

Đáp án đúng là: D

$\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{3x-\sqrt{2{x}^{2}+1}}{5x+\sqrt{{x}^{2}+3}}=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{3x-|x|\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}}{5x+|x|\sqrt{1+\frac{3}{{x}^{2}}}}$

$=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{3x-x\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}}{5x+x\sqrt{1+\frac{3}{{x}^{2}}}}$ $=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{3-\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}}{5+\sqrt{1+\frac{3}{{x}^{2}}}}=\frac{3-\sqrt{2}}{6}$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }(\sqrt{3-{x}^{2}}-\sqrt{7-{x}^{2}})=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{3-{x}^{2}-(7-{x}^{2})}{\sqrt{3-{x}^{2}}+\sqrt{7-{x}^{2}}}$

$=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{-4}{\sqrt{3-{x}^{2}}+\sqrt{7-{x}^{2}}}=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }(\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}})=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x-3}{{x}^{2}}=-\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow 0}{\lim }(2x-3)=-3 \\ \underset{x\rightarrow 0}{\lim }{x}^{2}=0 \\ {x}^{2}>0\ \forall x\ne 0\end{matrix}$

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{\sqrt{3{x}^{2}-5}-\sqrt{2{x}^{2}+1}}{\sqrt{5{x}^{2}-7}+2}=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{|x|\sqrt{3-\frac{5}{{x}^{2}}}-|x|\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}}{|x|\sqrt{5-\frac{7}{{x}^{2}}}+2}$

$=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{3-\frac{5}{{x}^{2}}}+x\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}}{-x\sqrt{5-\frac{7}{{x}^{2}}}+2}=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\frac{\sqrt{3-\frac{5}{{x}^{2}}}-\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}}{\sqrt{5-\frac{7}{{x}^{2}}}-\frac{2}{x}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$