10 Bài tập Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số nhân (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội:

$q=\frac{1}{2}$ và ${u}_{1}=\frac{12\ 288}{2}=6\ 144$ .

Khi đó diện tích mặt trên cùng là: ${u}_{11}={u}_{1}\cdot {q}^{10}=\frac{6144}{{2}^{10}}=6$

Đáp án đúng là: B

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:

M$_{1}$ = 100 + 100.10% = 110.

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:

M$_{2}$ = 110 + 110.10% = 121.

Đáp án đúng là: D

Số tiền ban đầu là M$_{0}$ = 10$^{8}$ (đồng)

Đặt r = 0,7% = 0,007

Số tiền sau tháng thứ nhất là: ${M}_{1}={M}_{0}+{M}_{0}r={M}_{0}(1+r)$ (đồng)

Số tiền sau tháng thứ hai là: ${M}_{2}={M}_{1}+{M}_{1}r={M}_{0}{(1+r)}^{2}$ (đồng)

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là: M$_{6}$ = M$_{0}$(+ r)$^{6}$ (đồng)

Do đó ${M}_{6}={M}_{0}{(1+r)}^{6};{M}_{6}={10}^{8}{(1{,}007)}^{6}$.

Vậy sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về 10$^{8}$.(1,007)$^{6}$ (đồng).

Đáp án đúng là: C

Đặt P$_{0}$ = 2 000 000 = 2 . 10$^{6}$ và r = 1,2% = 0,012.

Gọi P$_{n}$ là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.

Ta có: ${P}_{n+1}={P}_{n}+{P}_{n}r={P}_{n}(1+r)$ .

Suy ra (P$_{n}$) là một cấp số nhân với số hạng đầu P$_{0}$ và công bội q = 1+ r.

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:

${P}_{9}={M}_{0}{(1+r)}^{9}=2\cdot {10}^{6}\cdot {(1{,}012)}^{10}\approx 2\ 227\ 000$.

Đáp án đúng là: C

Lúc đầu có 10$^{22}$ tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u$_{1}$ = 10$^{22}$ và công bội q = 2.

Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9 lần phân chia tế bào.

Ta có u$_{10}$ là số tế bào nhận được sau 3 giờ.

Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là: ${u}_{10}={u}_{1}{q}^{9}=512\cdot {10}^{12}.$

Đáp án đúng là: C

• Số lá sen ngày đầu là 1 = 3$^{0}$;

• Số lá sen ngày thứ 2 là 1.3 = 3$^{1}$;

• Số lá sen ngày thứ ba là 3.3 = 3$^{2}$;

...

• Số lá sen ngày thứ 10 là 3$^{9}$.

Như vậy để hồ đầy lá sen thì cần 3$^{9}$ lá.

+ Nếu ngày đầu có u$_{1}$ = 9 lá thì ngày thứ 2 có : 9.3 = 27 lá; ngày thứ 3 có: 27.3 = 81 lá...

Do đó; số lá sen mỗi ngày có trong hồ là 1 cấp số nhân với u$_{1}$ = 9; q = 3.

Số hạng thứ n là ${{\rm{u}}_{\rm{n}}} = {{\rm{u}}_1} \cdot {{\rm{q}}^{{\rm{n}} - 1}} = 9 \cdot {3^{{\rm{n}} - 1}}.$

Để hồ đầy lá sen thì cần 3$^{9}$ lá

$\Rightarrow {9.3^{{\rm{n}} - 1}} = {3^{10}} \Rightarrow {\rm{n}} + 1 = 9 \Rightarrow {\rm{n}} = 8$.

Vậy đến ngày thứ 8 thì hồ sẽ đầy lá.

Đáp án đúng là: A

Ta có chu vi đường tròn có bán kính r là: P = 2πr.

Do chu vi đường tròn (O; r$_{2}$) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r$_{1}$)

$$\Rightarrow 2\pi {r_2} = 2.2\pi {r_1} \Leftrightarrow {{\rm{r}}_2} = 2{{\rm{r}}_1}.$$

…

Do chu vi đường tròn ( O; r$_{n}$) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r$_{n – 1}$) nên:

$$2\pi {r_n} = 2.2\pi {r_{n - 1}} \Leftrightarrow {{\rm{r}}_{\rm{n}}} = 2{{\rm{r}}_{{\rm{n}} - 1}}.$$

Þ Dãy số r$_{1}$; r$_{2}$; r$_{3}$....; r$_{n}$ là cấp số nhân có u$_{1}$ = r$_{1}$ = 2 và công bội q = 2.

$$\Rightarrow {{\rm{r}}_{\rm{n}}} = {{\rm{r}}_1} \cdot {2^{{\rm{n}} - 1}} = 2.256 = 512$$

$\Rightarrow {r_{n - 1}} = {r_n}:2 = 256$.

Đáp án đúng là: C

Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u$_{1}$ = 20 000 và công bội q = 2.

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

$${S_9} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {p^9}} \right)}}{{1 - p}} = 10\,\,220\,\,000$$

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là ${u_{10}} = {u_1} \cdot {p^9} = 10\,\,240\,\,000$.

Ta có ${u_{10}} - {S_9} = 20\,\,000 > 0$ nên du khách thắng 20 000 đồng.

Vậy du khác trên thắng 20 000 đồng.

Đáp án đúng là: C

Đặt a = 7 000 000 đồng; $m = 20\% \,;\,\,n = 0{,}3\% \,;\,\,t = 7\% .$

Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là ${T_1} = am{(1 + n)^1}$.

Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

$${T_2} = \left( {{T_1} + am} \right)\left( {1 + n} \right) = am{\left( {1 + n} \right)^2} + am{\left( {1 + n} \right)^1}.$$

Hết tháng thứ 36, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

$${T_{36}} = {\mathop{\rm am}\nolimits} {\left( {1 + n} \right)^{36}} + {\mathop{\rm am}\nolimits} {\left( {1 + n} \right)^{35}} + \ldots + am\left( {1 + n} \right)$$

$$= am \cdot \left( {1 + n} \right)\frac{{{{\left( {1 + n} \right)}^{36}} - 1}}{n}$$

Thay số ta được ${T_{36}} \approx 53\,\,297\,\,648{,}73{\rm{ }}$ (đồng).

Vậy sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là 53 298 000 đồng.

Đáp án đúng là: B

Tổng số hạt thóc phần thưởng là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân với u$_{1}$ = 1, q = 2.

Suy ra: ${S_{64}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {2^{64}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{64}} - 1$ (hạt thóc)

Quy đổi: 100 hạt thóc nặng 20 gam suy ra 50 000 000 hạt nặng 1 tấn.

Suy ra 2$^{64}$ − 1 hạt thóc nặng $\frac{{{2^{64}} - 1}}{{50\,\,000\,\,000}}$ (tấn) $\approx$ 369 (tỉ tấn).