10 bài tập Dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có lời giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 0 nên phương trình này có nghiệm kép.

Đáp án đúng là: B

Phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b$^{2}$ – 4ac ≥ 0 tức là ∆ > 0 hoặc ∆ = 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép.

Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm. Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Vì phương trình bậc hai một ẩn ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b$^{2}$ – 4ac > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Phương trình đã cho có ∆ = (–7)$^{2}$ – 4.3.2 = 25 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5.$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - 5}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3};\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + 5}}{{2 \cdot 3}} = 2.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2; x = $\frac{1}{3}.$

Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Phương trình đã cho có ∆' = 6$^{2}$ – (–4).(–9) = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép là $x = \frac{{ - 6}}{{ - 4}} = \frac{3}{2}.$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x$^{2}$ – 3x + 5 = 0 (1) có ∆ = (–3)$^{2}$ – 4.1.5 = –11 < 0 nên phương trình (1) vô nghiệm. Do đó khẳng định (A) là sai.

Xét phương trình 2x$^{2}$ + 5x + 2 = 0 (2) có ∆ = 5$^{2}$ – 4.2.2 = 9 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.$

Do đó phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt (phương trình có nghiệm) là:

${x_1} = \frac{{ - 5 - 3}}{{2 \cdot 2}} = - 2 \in \mathbb{Z};\,\,{x_2} = \frac{{ - 5 + 3}}{{2 \cdot 2}} = - \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}.$

Như vậy, khẳng định (B) và (C) đều đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

>

Đáp án đúng là: B

Phương trình x$^{2}$ – (2m + 1) + m = 0 có:

∆ = [–(2m + 1)]$^{2}$ – 4.1.m = 4m$^{2}$ + 1.

Với mọi m ta có 4m$^{2}$ ≥ 0 nên 4m$^{2}$ + 1 > 0 hay ∆ > 0.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tức là phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Đáp án đúng là: A

Giải phương trình:

0,5x(x + 2) = (x – 1)$^{2}$

0,5x$^{2}$ + x = x$^{2}$ – 2x + 1

0,5x$^{2}$ – 3x + 1 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–3)$^{2}$ – 4.0,5.1 = 7 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 7 }}{{2 \cdot 0{,}5}} = 3 + \sqrt 7 ;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 7 }}{{2 \cdot 0{,}5}} = 3 - \sqrt 7 .$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 3 + \sqrt 7 ;\,\,x = 3 - \sqrt 7 .$

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định: x ≠ –1, x ≠ –2.

$\frac{4}{{x + 1}} = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$\frac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

4(x + 2) = –x$^{2}$ – x + 2

4x + 8 = –x$^{2}$ – x + 2

x$^{2}$ + 5x + 6 = 0.

Phương trình trên có ∆ = 5$^{2}$ – 4.1.6 = 1 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 5 + 1}}{{2 \cdot 1}} = - 2$ (loại); ${x_2} = \frac{{ - 5 - 1}}{{2 \cdot 1}} = - 3$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = –3.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định: x ≠ 1, x ≠ –2, x ≠ –3, x ≠ 4.

$\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = 4$

$\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{x + 3}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x + 4}}{{x - 4}} - 1} \right) = 0$

$\frac{{x + 1 - x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2 - x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{x - 3 - x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{x + 4 - x + 4}}{{x - 4}} = 0$$\frac{2}{{x - 1}} + \frac{{ - 4}}{{x + 2}} + \frac{{ - 6}}{{x + 3}} + \frac{8}{{x - 4}} = 0$

$\frac{2}{{x - 1}} + \frac{{ - 4}}{{x + 2}} + \frac{{ - 6}}{{x + 3}} + \frac{8}{{x - 4}} = 0$

$$2\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{2}{{x + 2}} - \frac{3}{{x + 3}} + \frac{4}{{x - 4}}} \right) = 0$$

$$\left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{4}{{x - 4}}} \right) - \left( {\frac{2}{{x + 2}} + \frac{3}{{x + 3}}} \right) = 0$$

$$\left[ {\frac{{x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] - \left[ {\frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] = 0$$

$$\frac{{x - 4 + 4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right) + 3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0$$

$$\frac{{x - 4 + 4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{2x + 6 + 3x + 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0$$

$$\frac{{5x - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{5x + 12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0$$

$$\frac{{\left( {5x - 8} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {5x + 12} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = 0$$

(5x – 8)(x + 2)(x + 3) – (5x + 12)(x – 1)(x – 4) = 0

(5x$^{2}$ + 10x – 8x – 16)(x + 3) – (5x$^{2}$ – 5x + 12x – 12)(x – 4) = 0

(5x$^{2}$ + 2x – 16)(x + 3) – (5x$^{2}$ + 7x – 12)(x – 4) = 0

(5x$^{3}$ + 15x$^{2}$ + 2x$^{2}$ + 6x – 16x – 48) – (5x$^{3}$ – 20x$^{2}$ + 7x$^{2}$ – 28x – 12x + 48) = 0

5x$^{3}$ + 15x$^{2}$ + 2x$^{2}$ + 6x – 16x – 48 – 5x$^{3}$ + 20x$^{2}$ – 7x$^{2}$ + 28x + 12x – 48 = 0

30x$^{2}$ + 30x – 96 = 0.

5x$^{2}$ + 5x – 16 = 0

Phương trình này có ∆ = 5$^{2}$ – 4.5.(–16) = 345 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {345} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{ - 5 + \sqrt {345} }}{{10}} > 0$ (thỏa mãn điều kiện xác định);

${x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {345} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{ - 5 - \sqrt {345} }}{{10}} < 0$ (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm dương là $x = \frac{{ - 5 + \sqrt {345} }}{{10}}.$

</>