10 bài tập Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn có lời giải

Đáp án đúng là: D

Hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp đường tròn, có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.

Đáp án đúng là: C

Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên BD

⊥ AC và CE ⊥ AB.

Suy ra $\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ$.

Xét ∆AEH vuông tại E nên H, E, A thuộc đường tròn đường kính AH (1)

Xét ∆ADH vuông tại D nên D, A, H thuộc đường tròn đường kính AH (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra ADHE là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCDE. Gọi O là trung điểm của BC.

Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên DB ⊥ AC và CE ⊥ AB.

Suy ra $\widehat {BDC} = \widehat {BEC} = 90^\circ$.

Xét tam giác BDC, có $\widehat {BDC} = 90^\circ$ và DO là trung tuyến nên OD = OC = OB = $\frac{1}{2}BC$.

Xét tam giác BEC có $\widehat {BEC} = 90^\circ$ và EO là trung tuyến nên OE = OC = OB = $\frac{1}{2}BC$.

Từ đấy suy ra OE = OC = OB = OD.

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm BC.

Đáp án đúng là: C

Trong các hình trên, nhận thấy Hình 4 là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: A

Xét (O) có CH

⊥ AB (gt) nên $\widehat {CHA} = 90^\circ$; CK ⊥ AK (gt) nên $\widehat {CKA} = 90^\circ$.

Có ∆CAH vuông tại H nên H, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Có ∆CKA vuông tại K nên K, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Do đó, K, H, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Suy ra AHCK là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh được ∆HAD ᔕ ∆DAB (g.g) nên $\frac{{AH}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}}$ hay AH.AB = AD$^{2}$.

Đáp án đúng là: C

Xét tứ giác BDFO, có:

$\widehat {DBO} = \widehat {OFD} = 90^\circ$ nên

bốn điểm B, O, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính DO.

Hay BOFD là tứ giác nội tiếp.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\widehat {BNA} = 90^\circ ,\widehat {AMB} = 90^\circ$.

Xét ∆BAN vuông tại N nên B, A, N cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Xét ∆AMB vuông tại M nên A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Do đó, A, N, M, B cùng thuộc một đường tròn.

Đáp án đúng là: D

Xét tứ giác IMHC, ta có:

$\widehat {MIC} = 90^\circ ,\widehat {CHM} = 90^\circ$.

Suy ra M, I, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính MC.

Do đó, tứ giác IMHC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Nhận thấy, tứ giác IMHC chưa đủ điều kiện để trở thành hình chữ nhật hay hình vuông.

Do đó, chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy có 4 tứ giác nội tiếp.

• Tứ giác NHMB nội tiếp do bốn điểm N, H, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính BH.

• Tứ giác PHMC nội tiếp do bốn điểm P, H, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

• Tứ giác BNPC nội tiếp do bốn điểm B, N, P, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

• Tứ giác NHPA nội tiếp do bốn điểm N, H, P, A cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Đáp án đúng là: D

• Quan sát hình vẽ, nhận thấy bốn điểm A, B, C, D đều thuộc đường tròn nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

• Có ∆DEC vuông tại E nên D, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính DC.

Có ∆DFC vuông tại F nên F, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính DC.

Từ đây, suy ra D, E, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính DC hay tứ giác DEFC nội tiếp.

• Vì tứ giác DEFC nội tiếp đường tròn nên $\widehat {DEF} + \widehat {FCD} = 180^\circ$ (tính chất).

Do đó, ý D sai.

Đáp án đúng là: A

• Ta có $\widehat {MDC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC nên $\widehat {MDC} = 90^\circ$ (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét ∆ABC vuông tại A nên A, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét ∆BDC vuông tại D nên D, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Do đó, A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác ABCD nội tiếp.

• Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD}$ (cùng nhìn đoạn AD).

Xét đường tròn đường kính MC ta có 4 điểm M, C, D, E cùng thuộc đường tròn nên tứ giác MCED là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $\widehat {MDA} = \widehat {ECM}$ (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) (1)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) nên $\widehat {ACB} = \widehat {ADB}$ (cùng nhìn đoạn AB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {BCA} = \widehat {ACE}$ $\left( { = \widehat {ADB}} \right)$.

Hay CA là phân giác của $\widehat {ECB}$

• Giả sử tứ giác ABCS là tứ giác nội tiếp thì $\widehat {AEB} = \widehat {BCA}$ (hai góc cùng nhìn đoạn AB)

Mà $\widehat {BCA} = \widehat {BDA}$; $\widehat {BDA} \ne \widehat {BEA}$ (xét trong đường tròn đường kính CM).

Suy ra $\widehat {BCA} \ne \widehat {BEA}$, do đó tứ giác ABCE không nội tiếp.

Do đó, ý (II) sai.