10 Bài tập Chứng minh hai vectơ hay hai đường thẳng vuông góc (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}\Leftrightarrow BA\perp BC$

Do đó, tam giác ABC vuông tại B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: Do ABCD là hình vuông nên $AB\perp AD\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do ABCD là hình thoi nên AB không vuông góc với AC nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\ne 0$.

Hai đường chéo AC và BD của hình thoi vuông góc với nhau tại O nên

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$; $\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{DO}=0$; $\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A'B'}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB})(\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SA'})$ (áp dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ)

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA}'+\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}')$

Lại có: AA’ vuông góc với BB’ tại S nên ta có:

$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB'}=0$

$\overrightarrow{\mathrm{SB}}.\overrightarrow{\mathrm{SA}'}=0$

$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA'}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB'}$

Từ đó suy ta $\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A'B'}=0$

Vậy SM vuông góc với A’B’.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}).\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{DB}\perp \overrightarrow{AC}$

Vậy BD vuông góc với AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc nên ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

Ta có:

$(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=2{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}$

$=2{|\overrightarrow{a}|}^{2}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-{|\overrightarrow{b}|}^{2}$

$={2.1}^{2}+2.0-0-{(\sqrt{2})}^{2}=0$

Vậy $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ vuông góc.

Tương tự, ta kiểm tra tích vô hướng của các cặp vectơ ở các đáp án B, C, D, các tích này đều khác 0 nên chúng không vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Do vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ vuông góc nên ta có: $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0$

Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v}=(9\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j})(\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j})=9{\overrightarrow{i}}^{2}-27\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}-9{\overrightarrow{j}}^{2}$

$=9{|\overrightarrow{i}|}^{2}-27\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}-9{|\overrightarrow{j}|}^{2}$

$=9.1-27.0+3.0-9.1=0$

Vậy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ vuông góc nên ta có: $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0$.

Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v}=(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j})(\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j})=3{\overrightarrow{i}}^{2}-6\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}-8{\overrightarrow{j}}^{2}$

$=3{|\overrightarrow{i}|}^{2}-6\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}-8{|\overrightarrow{j}|}^{2}$

$=3.1-6.0+4.0-8.1=-5\ne 0$

Vậy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ không vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Do vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ vuông góc nên ta có: $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0$.

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=(10\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j})(-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j})=-10{\overrightarrow{i}}^{2}-20\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+10{\overrightarrow{j}}^{2}$

$=-10{|\overrightarrow{i}|}^{2}-20\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+10{|\overrightarrow{j}|}^{2}$

$=-10.1-20.0+5.0+10.1=0$

Vậy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ vuông góc nên ta có: $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0$.

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=(\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j})(-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j})=-{\overrightarrow{i}}^{2}-2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+10{\overrightarrow{j}}^{2}$

$=-{|\overrightarrow{i}|}^{2}-2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+10{|\overrightarrow{j}|}^{2}$

$=-1-2.0+5.0+10.1=9\ne 0$

Vậy $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{w}$ không vuông góc.