10 Bài tập Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau (có lời giải)

Đáp án đúng là: A.

Xét tam giác ABC có: N là trung điểm của AC, do đó: NA = CN $\Rightarrow \left| {\overrightarrow {NA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CN} } \right|$

Ta có: $\overrightarrow {NA}$ và $\overrightarrow {CN}$ có cùng giá là đường thẳng AC.

Nên hai vectơ $\overrightarrow {NA}$ và $\overrightarrow {CN}$ cùng phương.

Mà $\overrightarrow {NA}$ và $\overrightarrow {CN}$ cùng hướng từ phải sang trái.

Vậy $\overrightarrow {NA}$ = $\overrightarrow {CN}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác ABC có: M là trung điểm của AB, do đó: AM = BM $\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|$

Ta có: hai vectơ $\overrightarrow {BM}$ và $\overrightarrow {AM}$ có cùng giá là đường thẳng AB.

Mà $\overrightarrow {BM}$có hướng từ phải sang trái và $\overrightarrow {AM}$ có hướng từ trái sang phải

Do đó, chúng ngược hướng.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow {BM}$ và $\overrightarrow {AM}$ đối nhau.

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác ABC có:

N là trung điểm của AC có: NC = $\frac{1}{2}$AC (1)

M là trung điểm của AB, P là trung điểm của BC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: MP = $\frac{1}{2}$AC (2), MP // AC (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra: NC = MP hay $\left| {\overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MP} } \right|$.

Từ (3) ta có: hai vectơ $\overrightarrow {NC}$ và $\overrightarrow {MP}$ cùng phương, mà chúng cùng hướng đi từ trái sang phải.

Vậy $\overrightarrow {NC}$ = $\overrightarrow {MP}$.

Đáp án đúng là: D.

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB có: MB = $\frac{1}{2}$AB (1)

P là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: PN = $\frac{1}{2}$AB (2), PN // AB (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra: MB = PN hay $\left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|$

Từ (3) ta có: hai vectơ $\overrightarrow {PN}$ và $\overrightarrow {MB}$ cùng phương, mà chúng ngược hướng nhau.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow {PN}$ và $\overrightarrow {MB}$ đối nhau.

Đáp án đúng là: A.

Xét hình vuông ABCD tâm O có:

OA = CO = $\frac{1}{2}$AC

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CO} } \right|$ (1)

Mặt khác, $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {CO}$ có cùng giá là đường thẳng AC

Do đó, $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {CO}$ cùng phương, mà chúng cùng hướng (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận: $\overrightarrow {CO}$ = $\overrightarrow {OA}$.

Đáp án đúng là: D.

Xét hình vuông ABCD tâm O có:

OB = OD = $\frac{1}{2}$BD

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right|$ (1)

Mặt khác, hai vectơ $\overrightarrow {OB}$ và $\overrightarrow {OD}$ có cùng giá là đường thẳng BD

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow {OB}$ và $\overrightarrow {OD}$ cùng phương, mà chúng ngược hướng (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận: $\overrightarrow {OB}$ = –$\overrightarrow {OD}$.

Đáp án đúng là: C.

Xét hình vuông ABCD có:

BC // AD, do đó hai vectơ $\overrightarrow {KC}$ và $\overrightarrow {AN}$ cùng phương, mà chúng cùng hướng đi từ trái sang phải nên hai vectơ $\overrightarrow {KC}$ và $\overrightarrow {AN}$ cùng hướng (1).

Mặt khác: $KC = \frac{1}{2}BC$ (do K là trung điểm của BC); $AN = \frac{1}{2}AD$ (do N là trung điểm của AD).

Mà BC = AD (do ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow KC = AN \Rightarrow \left| {\overrightarrow {KC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AN} } \right|$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow {KC} = \overrightarrow {AN}$.

Đáp án đúng là: A.

Xét hình vuông ABCD có: Q là trung điểm của AB và L là trung điểm của CD.

Nên QL là đường trung bình của hình vuông ABCD.

Suy ra: BC //= QL và QL đi qua tâm O của hình vuông.

Do đó: $\overrightarrow {OQ}$ và $\overrightarrow {KC}$ cùng phương, mà chúng có hướng ngược nhau nên hai vectơ $\overrightarrow {OQ}$ và $\overrightarrow {KC}$ ngược hướng (1).

Mà: $KC = \frac{1}{2}BC$; $OQ = \frac{1}{2}QL$; BC = QL.

$\Rightarrow KC = OQ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {KC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, $\overrightarrow {OQ} = - \overrightarrow {KC}$, vậy A sai.

Đáp án đúng là: B.

Xét hình thoi ABCD có:

AB = CD

Mà E là trung điểm của AB nên BE = $\frac{1}{2}$AB

G là trung điểm của CD nên GD = $\frac{1}{2}$CD

Do đó, BE = GD $\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BE} } \right| = \left| {\overrightarrow {GD} } \right|$ (1)

Và: AB // CD

Do đó, $\overrightarrow {BE} ,\,\,\overrightarrow {GD}$ cùng phương, hơn nữa chúng cùng hướng (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {GD}$.

Đáp án đúng là: A.

Xét tam giác ABD có:

AB = AD (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABD cân tại A.

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của AD

Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ABD.

Lại có AI là đường cao của tam giác cân ABD (do I là giao hai đường chéo của hình thoi nên AC vuông góc với BD tại I)

Mà EF cắt AI tại L.

Từ đó ta suy ra L là trung điểm của AI.

Xét tam giác BAC có:

BA = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác BAC cân.

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của BC

Do đó, EH là đường trung bình của tam giác BAC.

Tương tự, BI là đường cao của tam giác BAC.

Mà EH cắt BI tại J

Từ đó suy ra J là trung điểm của BI.

Xét tam giác AIB có:

J là trung điểm của BI

L là trung điểm của AI

Do đó, JL là đường trung bình của tam giác AIB

$\Rightarrow JL = \frac{1}{2}AB$ (1), JL // AB (2)

Xét hình thoi ABCD có:

AB = CD (3)

AB // CD (4)

Do G là trung điểm của CD nên ta có: $GD = \frac{1}{2}CD$ (5)

Từ (1), (3), (5) ta suy ra: JL = GD nên $\left| {\overrightarrow {JL} } \right| = \left| {\overrightarrow {GD} } \right|$ (6)

Từ (2), (4) và (6) ta suy ra: $\overrightarrow {JL} = \overrightarrow {GD}$ (do chúng cùng phương, cùng hướng và có độ dài bằng nhau).

Vậy A sai.