10 bài tập Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song, ba điểm thẳng hàng dựa vào tính chất góc nội tiếp có lời giải

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABH và ∆AMC, có:

$\widehat {BHA} = \widehat {MCA} = 90^\circ$,

$\widehat {ABC} = \widehat {AMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, ∆ABH ᔕ ∆AMC (gg)

Suy ra $\widehat {BAH} = \widehat {OAC}$.

Do đó, .

Suy ra, $\widehat {MNC} = \widehat {NCB}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên MN // BC.

Do đó, NMCB là hình thang.

Lại có nên BN = MC hay NMBC là hình thang cân.

Suy ra NC = BM.

Có $\widehat {ANM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó, khẳng định B sai.

Đáp án đúng là: D

Có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của ∆ABC.

Do đó AH ⊥ BC.

Có M là trung điểm BC nên OM ⊥ BC.

Suy ra OM // AH.

Có BF // EC (cùng vuông với AB)

BD // FC (cùng vuông với AC)

Do đó, BHCF là hình bình hành, có M là trung điểm BC, nên M cũng là trung điểm của đường chép HF.

Mà OM // AH nên OM là đường trung bình của tam giác HAF.

Suy ra $HM = \frac{{HF}}{2}.$

Do đó, ý D sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: O là trung điểm của AB, D là trung điểm của AE.

Do đó OD là đường trung bình của ∆ABE.

Suy ra OD // EB.

Ta có: $\widehat {AKB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay AK ⊥ BE.

Mà OD // EB nên OD ⊥ AK.

Do đó, ý D sai.

Đáp án đúng là: C

Vì ∆O

*'AB cân tại O'* nên $\widehat {O'AB} = \widehat {O'BA}$.

∆OAC cân tại O nên $\widehat {OAC} = \widehat {OCA}$.

Suy ra $\widehat {OCA} = \widehat {O'BA}$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó, O*'*B // OC.

Mặt khác MN là tiếp tuyến của (O*'*) tại B.

Do đó, O*'*B ⊥MN. Suy ra OC ⊥ MN.

Trong đường tròn (O), có ON là đường trung trực của MN.

Suy ra CM = CN từ đó .

Do đó, $\widehat {MAC} = \widehat {NAC}$.

Hay AC là phân giác của góc MAN.

Đáp án đúng là: C

Ta có MD

// AB mà AB ⊥ MC nên MC ⊥ MD.

Suy ra $\widehat {DMC} = 90^\circ$.

Có góc DMC là góc nội tiếp lại có số đo bằng 90° nên CD là đường kính.

Suy ra ba điểm C, O, D thẳng hàng.

Vậy cả hai phát biểu (I), (II) đều đúng.

Đáp án đúng là: C

Ta có BH ⊥ AC nên tam giác ABH vuông tại H.

Mà $\widehat {BAH} = 45^\circ$ nên $\widehat {ABH} = 45^\circ$ hay $\widehat {EBA} = 45^\circ$ (1)

Mặt khác, có CK ⊥ AB suy ra tam giác ACK vuông tại K.

Mà $\widehat {KAC} = 45^\circ$ nên $\widehat {KCA} = 45^\circ$.

Có $\widehat {DBA} = \widehat {DCA}$ (cùng chắn cung AD) nên $\widehat {ABD} = 45^\circ$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {EBD} = \widehat {DBA} + \widehat {ABE} = 90^\circ$ nên DE là đường kính của (O) hay D, O, E thẳng hàng.

Do đó, phát biểu (II) và (III) là đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ mà $\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}$ (góc nội tiếp)

Nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}$.

Do đó, ∆MBD ᔕ ∆MAB (g.g)

Suy ra $\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{MB}}{{MA}}$ suy ra $\frac{{MD}}{{MK}} = \frac{{MK}}{{MA}}$.

Kết hợp với $\widehat {DMK} = \widehat {KMA}$ nên ∆DMK ᔕ ∆KMA (g.g)

Suy ra $\widehat {MDK} = \widehat {MKA}$ = 90°.

Vậy DK ⊥ AM.

Vậy phát biểu (I) và (III) là các phát biểu đúng.

Đáp án đúng là: D

Gọi E là giao điểm của IM và AD.

Ta có: AC ⊥ BD tại I nên ∆BCI vuông tại I.

Mà MB = MC nên MI = MB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Do đó, ∆MBI cân.

Suy ra $\widehat {MIB} = \widehat {MBI}$ mà $\widehat {NID} = \widehat {BIM}$ đối đỉnh do đó $\widehat {MBI} = \widehat {NID}$.

Ta có: $\widehat {BDA} = \widehat {BCA}$(góc nội tiếp chắn cung AB)

Mà $\widehat {BCA} + \widehat {MBI} = 90^\circ$ (tam giác BIC vuông tại I).

Suy ra $\widehat {NID} + \widehat {BDA} = 90^\circ$ hay $\widehat {AEI} = 90^\circ$ hay MI ⊥ AD.

Đáp án đúng là: D

Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) đường kính AM và CD.

Do đó, $\widehat {AIM} = 90^\circ$.

Tứ giác DAIM là hình chữ nhật

(vì $\widehat {AIM} = \widehat {IAD} = \widehat {ADM} = 90^\circ$)

Do đó, $\widehat {IMD} = 90^\circ$ nên DI là đường kính của (O).

Suy ra $\widehat {DNC} = 90^\circ$.

Ta có: $\widehat {IND} + \widehat {DNC} = 90^\circ + 90^\circ$ hay $\widehat {INC} = 180^\circ$.

Do đó, I, N, C thẳng hàng.

Xét ∆CDK và ∆MIC có:

$\widehat {DCK} = \widehat {IMC} = 90^\circ$,

DC = MI = AD

$\widehat {KDC} = \widehat {CIM}$ (cặp góc nhọn có cạnh tương ứng với góc)

Do đó, ∆CDK = ∆MIC, suy ra CK = MC.

Suy ra ∆CMK cân tại C.

CA là tia phân giác $\widehat {MCK}$ (vì ABCD là hình vuông)

Suy ra AC ⊥ KM.

Đáp án đúng là: A

Dựng hai bán kính OB, OC của (O).

Xét đường tròn (O*'*) ta có .

Mà suy ra (1)

Xét đường tròn (O) ta có: (2).

Từ (1) và (2) ta được $\widehat {BOD} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}$ suy ra $\widehat {BOD} = \widehat {DOC}$ hay OD là tia phân giác $\widehat {BOC}$.

Ta lại có ∆BOC cân tại O nên OD vừa là phân giác vừa là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác BOC.

Do đó, OD ⊥ BC.