10 Bài tập Chứng minh các tính chất hình học (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vẽ tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC ta được:

BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$

⇒ AC < BC, AB < BC

Mà BC là cạnh huyền và AB, AC là các cạnh góc vuông.

Vậy trong giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông AHB và AHC ta có:

AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + BH$^{2}$

AC$^{2}$ = AH$^{2}$ + CH$^{2}$

+) Nếu BH < CH thì AB < AC.

+) Nếu BH > CH thì AB > AC.

Vậy khẳng định đúng là HB > HC thì AB > AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác HBA vuông ở B ta có:

AH$^{2}$ = BH$^{2}$ + AB$^{2}$

⇒ AH > AB, AH > BH.

Đáp án đúng là: B

*) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AHB và AHC ta có:

AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + BH$^{2}$

AC$^{2}$ = AH$^{2}$ + CH$^{2}$

Vì AB < AC nên BH < CH.

*) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông BHD và BHC ta có:

BD$^{2}$ = BH$^{2}$ + DH$^{2}$

CD$^{2}$ = CH$^{2}$ + DH$^{2}$

Vì BH < CH nên BD < CD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+) Vì tam giác AHB vuông nên AH < AB.

+) Vì tam giác ACH vuông nên AH < AC.

⇒ Khẳng định (I) đúng.

+) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AHB và AHC ta được:

AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + BH$^{2}$

AC$^{2}$ = AH$^{2}$ + CH$^{2}$

Nếu AB$^{2}$ < AC$^{2}$ thì AB < AC. Suy ra, BH < CH.

Nếu AB$^{2}$ > AC$^{2}$ thì AB > AC. Suy ra, BH > CH.

Do đó, BH < CH hoặc BH > CH.

⇒ Khẳng định (II) sai.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm.

Ta có: AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ (vì 5$^{2}$ = 4$^{2}$ + 3$^{2}$)

⇒ tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo)

Vì $\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\HM \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow BC\,\,{\rm{//}}\,\,MH$ (từ vuông góc đến song song).

Vậy BC song song với MH.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm.

Ta có: AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ (vì 5$^{2}$ = 4$^{2}$ + 3$^{2}$)

⇒ tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo)

Vì $\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\HM \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow BC\,\,{\rm{//}}\,\,MH$ (từ vuông góc đến song song).

Suy ra, BC song song với MH.

+) Xét tam giác AMH vuông tại M, ta có: $\widehat {HAM} + \widehat {AHM} = 90^\circ$

⇒ khẳng định A sai

+) $\widehat {ABM} + \widehat {CHM} = 180^\circ$ (vô lý) vì $\widehat {ABM} = 180^\circ$.

⇒ khẳng định B sai

+) Vì BC song song với MH nên $\widehat {BCH} + \widehat {CHM} = 180^\circ$ (2 góc trong cùng phía bù nhau).

⇒ khẳng định C đúng

+) $\widehat {CAB} = \widehat {BAH}$

⇒ khẳng định D sai

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Pythagore vào các tam giác vuông ADH, ACH, AEH ta được:

AD$^{2}$ = AH$^{2}$ + HD$^{2}$

AC$^{2}$ = AH$^{2}$ + HC$^{2}$

AE$^{2}$ = AH$^{2}$ + HE$^{2}$

Vì HD < HC < HE nên AD < AC < AE.

Vậy nhận xét C là đúng.

Vì AH là cạnh góc vuông của các tam giác vuông ADH, ACH, AEH nên

AH < AD < AC < AE.

Vậy đoạn thẳng có độ dài ngắn nhất là AH.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào các tam giác vuông ADH, ACH, AEH ta được:

AD$^{2}$ = AH$^{2}$ + HD$^{2}$

AC$^{2}$ = AH$^{2}$ + HC$^{2}$

AE$^{2}$ = AH$^{2}$ + HE$^{2}$

Vì HD < HC < HE nên AD < AC < AE.

Vậy nhận xét C là đúng.

Đáp án đúng là: D

+) Tam giác AMH vuông tại H nên MA > MH.

⇒ khẳng định A đúng.

+) Vì B nằm giữa hai điểm H và C nên HB < HC.

⇒ khẳng định B đúng.

+) Xét tam giác MAB có MH vuông góc với AB và H là trung điểm của AB.

⇒ Tam giác MAB cân tại M

⇒ MA = MB

⇒ khẳng định C đúng.

+) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông MHB và MHC ta có:

MB$^{2}$ = MH$^{2}$ + HB$^{2}$

MC$^{2}$ = MH$^{2}$ + HC$^{2}$

Vì HB < HC nên MB < MC.

Mà MA = MC nên MA < MC.

⇒ khẳng định D sai.