10 Bài tập Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆HKQ, ta có:

⦁ QK – QH < HK < QK + QH;

⦁ HK – QH < QK < HK + QH;

Vậy bất đẳng thức QK < HK + QH là đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:A

Xét tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: a < b + c.

Do đó a + a < b + c + a (chu vi của tam giác)

Suy ra 2a < a + b + c

Hay a < (a + b + c) : 2 (nửa chu vi của tam giác)

Tương tự với cạnh b và c.

Vậy phương án đúng là A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Bất đẳng thức ở phương án D sai do trong tam giác, độ dài cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại. Vì vậy DF – EF < DE.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Áp dụng bất đẳng thức cho ∆MNP ta có:

⦁ MP – MN < NP. Do đó A sai.

⦁ MP – NP < MN < MP + NP. Do đó B đúng.

⦁ MN – NP < MP < MN + NN. Do đó C sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Trên tia đối của tia AM lấy N sao cho MN = MA.

Xét ∆MAB và ∆MNC có:

MA = MN (theo cách vẽ);

$\widehat {AMB} = \widehat {NMC}$ (hai góc đối đỉnh);

MB = MC (do M là trung điểm của BC)

Do đó ∆MAB = ∆MNC (c.g.c)

Suy ra AB = NC (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ∆ACN có: AC + CN > AN (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) ta có AC + AB > AN

Mặt khác MN = MA, suy ra AN = 2AM

Do đó AC + AB > 2AM.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆AHB có AH + HB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét ∆AHC có AH + HC > AC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta được AH + HB + AH + HC > AB + AC

Suy ra 2AH + HB + HC > AB + AC

Mà HB + HC = BC (do H ∈ BC)

Suy ra 2AH + BC > AB + AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABO có AB < BO + OA (bất đẳng thức tam giác)

Mà ∆BOC cân tại O nên OB = OC

Suy ra AB < OC + OA

Lại có OC + OA = AC nên AB < AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ABO có AB > OA – OB (bất đẳng thức tam giác)

Mà ∆BOC cân tại O nên OB = OC

Suy ra AB < OA – OC

Lại có OA – OC = AC nên AB > AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆MNB có: MB < MN + NB (bất đẳng thức tam giác)

Do đó MA + MB < MA + MN + NB.

Mà MA + MN = NA nên ta có MA + MB < NA + NB (1)

Xét ∆NAC có: NA < AC + CN (bất đẳng thức tam giác)

Do đó NA + NB < AC + CN + NB.

Mà NB + NC = BC nên ta có NA + NB < AC + BC (2)

Từ (1) và (2) ta có MA + MB < NA + NB < AC + BC.

Do đó MA + MB < AC + BC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:B

Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AB = AK.

Xét ∆BAE và ∆KAE có:

AB = AK;

$\widehat {BAE} = \widehat {KAE}$ (do AD là tia phân giác của $\widehat {BAC});$

Cạnh AE chung

Do đó ∆BAE = ∆KAE (c.g.c).

Suy ra EB = EK (hai cạnh tương ứng).

Xét ∆CEK có: EC – EK < CK (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra EC – EB < CK (1)

Mặt khác CK = AC – AK = AC – AB (do AB = AK theo cách dựng) (2)

Từ (1) và (2) ta có EC – EB < AC – AB.