10 Bài tập Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng (Có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:D

Điểm I nằm trong ΔMNP và cách đều ba cạnh của tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác, suy ra MI là tia phân giác của $\widehat M.$ Do đó khẳng định A là đúng.

Do ΔMNP cân tại M nên đường phân giác MI cũng là trung tuyến. Do đó khẳng định B là đúng.

G là trọng tâm của ΔMNP nên G nằm trên đường trung tuyến MI.

Từ đó suy ra ba điểm M, G, I thẳng hàng. Do đó khẳng định C là đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

ΔABC có ba đường trung tuyến AD, BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ΔABC nên $GB = \frac{2}{3}BE$ và $GE = \frac{1}{3}BE.$ Do đó khẳng định A là đúng, D là sai.

Mặt khác $BM = \frac{1}{3}BE$ nên BM = MG.

Chứng minh tương tự, ta được CN = NG. Do đó khẳng định C là đúng.

Xét ΔGBC có GD, BN và CM là ba đường trung tuyến nên đồng quy tại một điểm. Do đó khẳng định B là đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Xét ΔABE và ΔACF có:

AE = AF (giả thiết);

$\widehat A$ là góc chung;

AB = AC (do ΔABC cân tại A)

Do đó ΔABE = ΔACF (c.g.c)

Suy ra ${\widehat B_1} = {\widehat C_1}$ (hai góc tương ứng)

Mặt khác $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (do ΔABC cân tại A) và ${\widehat C_1} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}$ nên ${\widehat B_1} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}$

Suy ra BE là tia phân giác của $\widehat {ABC}$.

ΔABC cân tại A nên AD là đường trung tuyến cũng là đường phân giác.

Xét ΔABC có AD, BE, CF là ba đường phân giác nên chúng đồng quy.

Đáp án đúng là: A

Ta có: hai tia phân giác góc ngoài tại B và C của ΔABC cắt nhau tại N nên AN là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ (Theo kết quả của Ví dụ 3) (1)

ΔABC có: điểm I cách đều ba cạnh của tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác của ΔABC.

Khi đó AI là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, I, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có E là giao điểm của hai đường phân giác ngoài tại đỉnh B và C nên theo kết quả của Ví dụ 3, ta có AE là tia phân giác của góc BAC.

Mà AD là tia phân giác của góc BAC

Do đó ba điểm A, D, E thẳng hàng hay AD, BE, CE đồng quy và E cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.

Vậy các khẳng định A, B, D đều đúng. Ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

⦁ Vì BD là phân giác của $\widehat {ABC}$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = 60^\circ$ (Khẳng định C đúng nên loại)

⦁ Ta có $\widehat {ABD} + \widehat {DBC} + \widehat {ABF} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {ABF} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABD} + \widehat {DBC}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 60^\circ } \right) = 60^\circ$

Vẽ tia đối By của tia BD. Ta có $\widehat {ABD} + \widehat {ABF} + \widehat {FBy} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {FBy} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABD} + \widehat {ABF}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 60^\circ } \right) = 60^\circ .$

Do đó $\widehat {ABD} = \widehat {ABF} = \widehat {FBy} = 60^\circ$

Xét ΔABD có hai đường phân giác ngoài tại đỉnh A và B cắt nhau tại F nên theo kết quả của Ví dụ 3, ta có DF là đường phân giác của $\widehat {ADB}$

Do đó: $\widehat {ADF} = \widehat {BDF}$ (Khẳng định A đúng nên loại)

⦁ Ta có $\widehat {FBD} = \widehat {FBA} + \widehat {ABD} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ = \widehat {ABC}.$ (Khẳng định D sai nên ta chọn)

⦁ Xét ΔDBC có tia phân giác CE của góc C và tia phân giác ngoài BE tại đỉnh B cắt nhau tại E, suy ra DE là tia phân giác của $\widehat {ADB}$

Tia DE và tia DF đều là tia phân giác của $\widehat {ADB}$ nên ba điểm D, E, F thẳng hàng. (Khẳng định B đúng nên loại)

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ΔABC, các đường phân giác ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại D.

Suy ra AD là đường phân giác trong tại đỉnh A (theo kết quả của Ví dụ 3).

Chứng minh tương tự ta được BE, CF lần lượt là các đường phân giác trong tại đỉnh B, đỉnh C của ΔABC.

Do đó, ba đường AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:D

Xét DMNP có hai đường trung tuyến MH và NK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác MNP. Do đó khẳng định (III) là đúng.

G là trọng tâm tam giác MNP nên PI là đường trung tuyến của tam giác.

Suy ra I là trung điểm của MN hay MI = NI.

Xét DPIN và DPIM có

NI = MI (chứng minh trên),

PI là cạnh chung,

PN = PM (do DMNP cân tại P)

Do đó DPIN = DPIM (c.c.c) nên khẳng định (II) là đúng.

Xét DPGM có PF, GK, ME là các đường trung tuyến của tam giác nên ba đường này đồng quy tại một điểm. Do đó khẳng định (I) là đúng.

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng, ta chọn phương án D.