10 Bài tập Cách sử dụng các kí hiệu với mọi, tồn tại (có lời giải)

Đáp án đúng là: B.

Ta có mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x < 3 ⇒ x$^{2}$ < 9” được phát biểu như sau:

“Với mọi số thực x mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9”.

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy phương án B là hợp lý nhất.

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

4x$^{2}$ – 1 = 0 (*) ⇔ x$^{2}$ = $\frac{1}{4}$ ⇔ x = $\frac{1}{2}$ hoặc x = $\frac{-1}{2}$.

Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn tại hai giá trị của x là x = $\frac{1}{2}$ và x = $\frac{-1}{2}$ thỏa mãn.

Vì vậy ta dùng kí hiệu ∃ cho mệnh đề trên.

Đáp án đúng là: D.

Ta có :

+ Phủ định của “mọi” là “có ít nhất”.

+ Phủ định của “chia hết” là “không chia hết”.

Do đó mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là “Có ít nhất một số chẵn không chia hết cho 2”.

Đáp án đúng là: A.

A. Ta có:

x$^{2}$ – 4 = 0 (*) ⇔ x$^{2}$ = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = – 2.

Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn tại hai giá trị nguyên của x là x = 2 và x = – 2 thỏa mãn.

Do đó mệnh đề ở câu A đúng.

B. Giả sử với x = 0 thì x$^{2}$ + 1 = 0$^{2}$ + 1 = 1 không chia hết cho 3.

Do đó mệnh đề trên dùng kí hiệu “với mọi” là sai.

Vì vậy mệnh đề ở câu B sai.

C. Ta giả sử với x = 0.

⇒ x$^{2}$ = 0$^{2}$ = 0 = x.

Do đó mệnh đề trên dùng kí hiệu “với mọi” là sai.

Vì vậy mệnh đề ở câu C sai.

D. Ta có:

x$^{2}$ + 1 = 0 (**) ⇔ x$^{2}$ = – 1 (vô nghiệm vì x$^{2}$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0).

Suy ra không có giá trị nguyên x nào thỏa mãn phương trình (**).

Do đó mệnh đề ở câu D sai.

Đáp án đúng là: B.

- Xét mệnh đề A, ta có:

x$^{2}$ – 4 = 0 ⇔ x$^{2}$ = 4 ⟺ x = 2 hoặc x = – 2.

Ta thấy phương trình x$^{2}$ – 4 = 0 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2, hay nói cách khác là có hai giá trị để x$^{2}$ – 4 bằng 0.

Do đó mệnh đề A dùng kí hiệu “với mọi” là sai.

Vậy mệnh đề A sai.

- Xét mệnh đề B, ta có:

x$^{2}$ = x ⇔ x$^{2}$ – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Ta thấy phương trình x$^{2}$ = x có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình x$^{2}$ = x tồn tại hai giá trị nguyên của x là x = 0 và x = 1 thỏa mãn.

Do đó mệnh đề B đúng.

Vậy mệnh đề A sai, mệnh đề B đúng.

Đáp án đúng là: C.

Ta có mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” được phát biểu như sau:

“Có một số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi”.

Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án C là phù hợp nhất.

Đáp án đúng là: A.

Mệnh đề “∀x ∈ ℤ, x$^{2}$ + 1 > 0” được phát biểu như sau:

Với mọi số nguyên x, ta có x$^{2}$ + 1 luôn lớn hơn 0.

Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án A là phù hợp nhất.

Đáp án đúng là: D.

A. Mệnh đề “∀x ∈ ℕ, x ≤ 2x” được phát biểu như sau:

“Với mọi số tự nhiên x, ta luôn có bất phương trình x ≤ 2x”.

Ta thấy mệnh đề này đúng vì mọi số tự nhiên x luôn thỏa mãn x ≤ 2x.

B. Mệnh đề “∀x ∈ ℝ, $\sqrt{x}$ ≥ 0” được phát biểu như sau:

“Với mọi số thực x thì căn bậc hai số học của số đó luôn lớn hơn hoặc bằng 0”.

Mệnh đề này đúng vì căn bậc hai số học của một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

C. Mệnh đề “∃x ∈ ℕ, x$^{2}$ = x” được phát biểu như sau:

“Tồn tại ít nhất một số tự nhiên x để bình phương của một số bằng chính số đó”.

Ta có:

x$^{2}$ = x ⇔ x$^{2}$ – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Ta thấy phương trình x$^{2}$ = x có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình x$^{2}$ = x tồn tại hai giá trị của x là x = 0 và x = 1 thỏa mãn, chính là tồn tại số tự nhiên để bình phương của nó bằng chính nó.

Do đó mệnh đề ở câu C đúng.

D. Mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x > 0” được phát biểu như sau:

“Mọi số thực x luôn luôn lớn hơn 0”.

Mệnh đề này sai vì số thực x có thể âm hoặc bằng 0.

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

+ Phủ định của “∀” là “∃”.

+ Phủ định của “≥” là “<”.

Do đó mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là: “∃x ∈ ℝ, x$^{3}$ – 5x + 6 < 0”.

Đáp án đúng là: B.

(1) Thay x = – 1 vào mệnh đề (1) ta có:

|– 1| > 1 ⇒ – 1 > 1 (vô lý).

Do đó mệnh đề (1) sai.

(2) Ta có:

2x$^{2}$ – 8 = 0 (*) ⇔ 2x$^{2}$ – 8 ⇔ x$^{2}$ = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = – 2.

Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn tại hai giá trị nguyên của x là x = 2 và x = – 2 thỏa mãn.

Do đó mệnh đề (2) đúng.

(3) Thay x = 3 vào mệnh đề (3) ta có:

2$^{3}$ + 1 = 8 + 1 = 9.

Ta thấy 9 không phải là số nguyên tố vì số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó nên mệnh đề (3) sai.