10 bài tập Các bài toán liên quan đến công thức Bayes có lời giải

Đáp án đúng là: C

Theo công thức Bayes, ta có $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}6.0{,}4}}{{0{,}3}} = 0{,}8$.

Đáp án đúng là: A

Có P(A) = 0,2 $\Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}8$.

Ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}2.0{,}7 + 0{,}8.0{,}15 = 0{,}26$.

Theo công thức Bayes $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}2.0{,}7}}{{0{,}26}} = \frac{7}{{13}}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”,

B là biến cố “Tài xế lái xe gây tai nạn”.

Khi đó P(A) = 3% = 0,03; P(A|B) = 21% = 0,21.

Theo công thức Bayes: $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}$$\Rightarrow \frac{{P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}21}}{{0{,}03}} = 7$.

Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 7 lần.

Đáp án đúng là: C

Gọi biến cố A: “Lấy bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai”;

Biến cố B: “Lấy được bi đỏ từ hộp thứ hai”.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{5}{8};P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{7};P\left( {\overline A } \right) = \frac{3}{8};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{7}$.

Có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{8}.\frac{5}{7} + \frac{3}{8}.\frac{4}{7} = \frac{{37}}{{56}}$.

Vì vậy $P\left( {A|B} \right) = \frac{{\frac{5}{8}.\frac{5}{7}}}{{\frac{{37}}{{56}}}} = \frac{{25}}{{37}}$.

Đáp án đúng là: A

Biến cố A: “Bệnh nhân đến từ phòng khám X”; biến cố B: “Bệnh nhân là nam”.

Ta có P(A) = 0,5; P(B|A) = 0,6; $P\left( {\overline A } \right) = 0{,}5;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}4$.

Khi đó $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}5.0{,}6 + 0{,}5.0{,}4 = 0{,}5$.

Xác suất cần tính: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}5.0{,}6}}{{0{,}5}} = 0{,}6$.

Đáp án đúng là: D

Biến cố A: “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao”;

Biến cố B: “Chọn được học sinh biết chơi bóng đá”.

Theo đề ta có P(A) = 0,2; $P\left( {\overline A } \right) = 0{,}8$; P(B|A) = 0,85; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}1$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}2.0{,}85 + 0{,}8.0{,}1 = 0{,}25$.

Theo công thức Bayes, ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}2.0{,}85}}{{0{,}25}} = 0{,}68$.

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố “Lần đầu rút được quả màu trắng”;

B là biến cố “Lần thứ hai rút được quả màu trắng”.

Theo đề $P\left( A \right) = \frac{1}{3};P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3};$$P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_{49}^1}}{{C_{149}^1}} = \frac{{49}}{{149}}$; $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_{50}^1}}{{C_{149}^1}} = \frac{{50}}{{149}}$.

Áp dụng công thức Bayes, ta có

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{49}}{{149}}}}{{\frac{1}{3}.\frac{{49}}{{149}} + \frac{2}{3}.\frac{{50}}{{149}}}} = \frac{{49}}{{149}}$.

Suy ra a = 49; b = 149. Do đó b – a = 100.

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố “Người đó có lối sống ít vận động”;

B là biến cố “Người đó bị bệnh tim”.

Theo giả thiết ta có: P(A) = 0,25 $\Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}75$; P(B|A) = 0,6; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}1$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}25.0{,}6 + 0{,}75.0{,}1 = 0{,}225$.

Theo công thức Bayes, ta có

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0{,}25.0{,}6}}{{0{,}225}} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67$.

Như vậy khi gặp một người bị bệnh tim tại thành phố này thì xác suất người đó có lối sống ít vận động là 0,67.

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố “Sản phẩm được chọn do máy I sản xuất”;

B là biến cố “Sản phẩm được chọn là phế phẩm”.

Theo đề ta có P(A) = 0,35; $P\left( {\overline A } \right) = 0{,}65$; P(B|A) = 0,003; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}007$.

Có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}0056$.

Theo công thức Bayes, có

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = 0{,}1875$.

Đáp án đúng là: A

Gọi B là biến cố “Người đó mắc bệnh”,

A là biến cố “Người đó được xét nghiệm có kết quả dương tính”.

Theo đề, P(B) = 1% = 0,01 $\Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$;

P(A|B) = 95% = 0,95; $P\left( {A|\overline B } \right) = 2\% = 0{,}02$.

Có $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)$ = 0,01.0,95 + 0,02.0,99 = 0,0293.

Suy ra $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}95.0{,}01}}{{0{,}0293}} \approx 0{,}3242$.

Vậy xác suất người đó thực sự mắc bệnh là khoảng 32%.