10 Bài tập Bất phương trình lôgarit (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: x + 8 > 0 và −x$^{2}$ + 6x − 8 > 0, tức 2 < x < 4.

Vì cơ số 2 > 1 nên bất phương trình trở thành x + 8 ≤ – x$^{2}$ + 6x – 8 hay x$^{2}$ – 5x + 16 ≤ 0.

Vì x$^{2}$ – 5x + 16 = ${(\text{x}-\frac{5}{2})}^{2}+\frac{39}{4}>0$ với mọi x.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x > 0.

Vì cơ số 2 > 1 nên bất phương trình trở thành x < 2$^{5}$ hay x < 32.

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 0 < x < 32.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: 3x – 4 > 0 và 2 + x > 0, tức $\text{x}>\frac{4}{3}$ .

Vì cơ số nên bất phương trình trở thành 3x – 4 < 2 + x ⇔ x < 3.

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $\frac{4}{3}<\text{x}<3$ .

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x – 40 > 0 và 60 – x > 0, tức 40 < x < 60.

Bất phương trình trở thành log[(x – 40)(60 – x)] < 2 hay – x$^{2}$ +100x – 2400 < 10$^{2}$.

Từ đó ta có – x$^{2}$ +100x – 2500 < 0.

Vì – x$^{2}$ +100x – 2500 = – (x – 50)$^{2}$ < 0 với mọi x.

Kết hợp với điều kiện ta được 19 nghiệm nguyên dương của bất phương trình đã cho là:{41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; …..; 59}.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x – 1 > 0 và x + 1 > 0, tức x > 1.

Bất phương trình trở thành log$_{3}$ (x – 1)$^{2}$ – log$_{3}$(x + 1) ≥ 1.

Từ đó ${\log }_{3}\frac{{(\text{x}-1)}^{2}}{\text{x}+1}\ge 1$ hay $\frac{{(\text{x}-1)}^{2}}{\text{x}+1}\ge 3$

⇔ $\frac{{(\text{x}-1)}^{2}-3\text{x}-3}{\text{x}+1}\ge 0$

⇔ $\frac{{\text{x}}^{2}-5\text{x}-2}{\text{x}+1}\ge 0$

⇔ $[\begin{matrix}x\le \frac{5-\sqrt{33}}{2} \\ x\ge \frac{5+\sqrt{33}}{2}\end{matrix}$(vì x + 1 > 0).

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình .

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x > 0 và 2 – x$^{2}$ > 0, tức $0<\text{x}<\sqrt{2}$ .

Bất phương trình trở thành log$_{3}$x$^{-1}$ + log$_{3}$(2 – x$^{2}$) ≥ 0 hay ${\log }_{3}(\frac{2-{\text{x}}^{2}}{\text{x}})\ge 0$

⇔ ${\log }_{3}(\frac{2-{\text{x}}^{2}}{\text{x}})\ge 0$

⇔ $\frac{2-{\text{x}}^{2}}{\text{x}}\ge 1$

⇔ $\frac{2-{\text{x}}^{2}-\text{x}}{\text{x}}\ge 0$

⇔ 0 < x ≤ 1 (vì x > 0).

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 0 < x £ 1.

Vậy bất phương trình có một nghiệm nguyên là x = 1 nên tổng các nghiệm nguyên là 1.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x$^{2}$ – x – 1 > 0 và x – 1 > 0 , tức x > $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Bất phương trình trở thành log$_{4}$(x$^{2}$ – x – 1)$^{2}$ ≥ log$_{4}$(x – 1)$^{2}$.

Vì cơ số 4 > 1 nên bất phương trình trở thành (x$^{2}$ – x – 1)$^{2}$ ≥ (x – 1)$^{2}$.

⇔ (x$^{2}$ – x – 1)$^{2}$ – (x – 1)$^{2}$ ≥ 0.

⇔ (x$^{2}$ – x – 1 – x + 1)( x$^{2}$ – x – 1 + x – 1) ≥ 0.

⇔ (x$^{2}$ – 2x)( x$^{2}$ – 2) ≥ 0.

⇔ $0\le \text{x}\le \sqrt{2}$ .

Kết hợp với điều kiện đề bài ta được bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x + 4 > 0 và 14 – x > 0, tức –4 < x < 14.

Bất phương trình trở thành log$_{2}$(x + 4) < log$_{2}$(14 – x).

Vì cơ số 2 > 1 nên x + 4 < 14 – x hay x < 5.

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là –4 < x < 5.

Vậy A sai.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > 0.

Khi đó bất phương trình trở thành ${\log }_{4}{\text{x}}^{3}+{\log }_{4}\frac{\text{1}}{\text{x}}+{\log }_{4}\text{x}\le 3$

⇔ ${\log }_{4}({\text{x}}^{3}\cdot \frac{\text{1}}{\text{x}}\cdot \text{x})\le 3$

⇔ log$_{4}$x$^{3}$ ≤ 3

⇔ x$^{3}$ ≤ 4$^{3}$

⇔ x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện ta được bất phương trình có nghiệm là 0 < x ≤ 4.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x > 0 và 2 – 9x > 0, tức .

Khi đó bất phương trình trở log$_{5}$x < log$_{5}$(2 – 9x)$^{2}$

Vì cơ số 5 > 1 nên ta có x < (2 – 9x)$^{2}$

⇔ 81x$^{2}$ – 37x + 4 > 0

⇔ $[\begin{matrix}\text{x}>\frac{37+\sqrt{73}}{162} \\ \text{x<}\frac{37-\sqrt{73}}{162}\end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $\text{x<}\frac{37-\sqrt{73}}{162}$ .