10 Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến phương trình lượng giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ t$_{0}$.

Ta có: $d({t}_{0})=3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]+12$

Mà d(t$_{0}$) = 15 nên ta có:

$3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]+12=15$

⇔$3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]=3$

⇔$\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]=1$

⇔$\frac{π}{182}({t}_{0}-80)=\frac{π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ

⇔ t$_{0}$ – 80 = 91 + 364k, k ∈ ℤ

⇔ t$_{0}$ = 364k + 171, k ∈ ℤ

Mà 0 ≤ t$_{0}$ ≤ 365

⇔ –171 ≤ 364k ≤ 194

⇔ –0,47 ≤ k ≤ 0,53

Mà k ∈ ℤ nên k = 0

Nếu k = 0 thì t$_{0}$ = 171

Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ t$_{0}$.

Ta có: $d({t}_{0})=3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]+12$

Mà d(t$_{0}$) = 9 nên ta có:

$3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]+12=9$

⇔$3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]=-3$

⇔$\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]=-1$

⇔$\frac{π}{182}({t}_{0}-80)=-\frac{π}{2}+k2π$ , k ∈ ℤ

⇔ t$_{0}$ – 80 = –91 + 364k , k ∈ ℤ

⇔ t$_{0}$ = 364k – 11, k ∈ ℤ

Mà 0 ≤ t$_{0}$ ≤ 365

⇔ 11 ≤ 364k ≤ 376

⇔ 0,03 ≤ k ≤ 1,03

Mà k ∈ ℤ nên k = 1

Nếu k = 1 thì t$_{0}$ = 353

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì v$_{0}$ = 500 m/s và g = 9,8 m/s$^{2}$nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là:

$y=\frac{-9{,}8}{{2.500}^{2}{\cos }^{2}α}{x}^{2}+x\tan α=\frac{-49}{2500000{\cos }^{2}α}{x}^{2}+x\tan α$\.

Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó

$\frac{-49}{2500000{\cos }^{2}α}{x}^{2}+x\tan α=0$

⇔ $x(\frac{-49}{2500000{\cos }^{2}α}x+\tan α)=0$

⇔ $[\begin{matrix}x=0 \\ x=\frac{2500000{\cos }^{2}α.\tan α}{49}\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}x=0 \\ x=\frac{2500000\cos α.\sin α}{49}\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}x=0 \\ x=\frac{1250000\sin 2α}{49}\end{matrix}$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn)

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000\sin 2α}{49}$ (m).

Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháp 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó: $\frac{1250000\sin 2α}{49}=22000$

⇔

⇔.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khi s $=-5\sqrt{3}$cm thì:

$10\sin (10t+\frac{π}{2})=-5\sqrt{3}$

⇔ $\sin (10t+\frac{π}{2})=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

⇔ $\sin (10t+\frac{π}{2})=\sin (\frac{-π}{3})$

⇔$[\begin{matrix}10t+\frac{π}{2}=\frac{-π}{3}+k2π \\ 10t+\frac{π}{2}=\frac{4π}{3}+k2π\end{matrix}$ , k ∈ ℤ

⇔$[\begin{matrix}10t=\frac{-5π}{6}+k2π \\ 10t=\frac{5π}{6}+k2π\end{matrix}$ , k ∈ ℤ

⇔$[\begin{matrix}t=\frac{-π}{12}+k\frac{π}{5} \\ t=\frac{π}{12}+k\frac{π}{5}\end{matrix}$, k ∈ ℤ

Khi k = 0 thì t = $\frac{-π}{12}$ hoặc t = $\frac{π}{12}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khi góc tới là 45° thì góc khúc xạ bằng 30° nên ta có:

Tỉ số $\frac{\sin i}{\sin r}$ = $\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=\sqrt{2}$

Khi góc tới là 60° thì ta có:

$\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin r}=\sqrt{2}$

⇔ $\sin 60^{\circ}=\sqrt{2}\sin r$

⇔$\sqrt{2}\sin r=\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇔$\sin r=\frac{\sqrt{6}}{4}$

⇔$\sin r\approx \sin (38^{\circ})$

⇔$[\begin{matrix}r\approx 38^{\circ}\ (TM) \\ r\approx 142^{\circ}\ (KTM)\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: D

Vận tốc bằng 2 cm/s thì:

$2 = - 4\cos \left( {\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$, k ∈ ℤ

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{5\pi }}{8} + k3\pi \\t = - \frac{{11\pi }}{8} + k3\pi \end{array} \right.$, k ∈ ℤ

Với k = 0 thì t = $\frac{{5\pi }}{8}$.

Đáp án đúng là: D

Vận tốc bằng 2 cm/s thì:

$2 = 2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow 2t + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$, k ∈ ℤ

$\Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + k\pi$, k ∈ ℤ.

Với k = 0 thì t = $\frac{\pi }{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để độ sâu của mực nước là 15 m thì

$3\cos (\frac{π}{6}t)+12=15$

$\Leftrightarrow 3\cos (\frac{π}{6}t)=3$

$\Leftrightarrow \cos (\frac{π}{6}t)=1$

$\Leftrightarrow \frac{π}{6}t=k2π$ (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow t=$12k (k ∈ ℤ)

Mà 0 ≤ t ≤ 24 ⇔ 0 ≤ k ≤ 2.

Với k = 0 thì t = 0.

Với k = 1 thì t = 12.

Với k = 2 thì t = 24.

Vậy tại các thời điểm 0 giờ, 12 giờ, 24 giờ thì độ sâu của mực nước là 15 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Với mọi t > 0, ta có:

⇔$-1\le \sin (\frac{π}{25}t+\frac{π}{3})\le 1$

⇔$-20\le 20\sin (\frac{π}{25}t+\frac{π}{3})\le 20$

⇔$10\le 30+20\sin (\frac{π}{25}t+\frac{π}{3})\le 50$

Hay 10 ≤ h(t) ≤ 50

Vậy cabin đạt độ cao tối đa là 50 (m).

Đáp án đúng là: B

Thời gian để cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên là nghiệm của phương trình:

$h\left( t \right) = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40$ với t > 0 và t đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải phương trình:

$30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$ (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + k50\\t = \frac{{25}}{2} + k50\end{array} \right.$ (k ∈ ℤ)

+) Xét $t = - \frac{{25}}{6} + k50$ , k ∈ ℤ và t > 0, ta có:

$t = - \frac{{25}}{6} + k50 > 0 \Leftrightarrow k > \frac{1}{{12}}$ nên k ∈ {1; 2; …}

Mà t đạt giá trị nhỏ nhất nên k = 1, suy ra $t = - \frac{{25}}{6} + 1 \cdot 50 \approx 45{,}8$ (s).

+) Xét $t = \frac{{25}}{2} + k50$ , k ∈ ℤ và t > 0 ta có:

$t = \frac{{25}}{2} + k50 > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{4}$, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Mà t đạt giá trị nhỏ nhất nên t = $\frac{{25}}{2} + 0 \cdot 50 = 12{,}5$ (s) với k = 0.

Do 12,5 < 45,8 nên sau 12,5 giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên.