10 Bài tập Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

b – a = c – b ⇔ (b – a)$^{2}$ = (c – b)$^{2}$

⇔ b$^{2}$ – 2ab + a$^{2}$ = c$^{2}$ – 2bc + b$^{2}$

⇔ a$^{2}$ – c$^{2}$ = 2ab – 2bc.

Đáp án đúng là: C

Ta có 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

b – a = c – b ⇔ (b – a)$^{2}$ = (c – b)$^{2}$

⇔ b$^{2}$ – 2ab + a$^{2}$ = c$^{2}$ – 2bc + b$^{2}$

⇔ a$^{2}$ – c$^{2}$ = 2ab – 2bc

⇔ a$^{2}$ + c$^{2}$ = 2c$^{2}$ + 2ab – 2bc

⇔ a$^{2}$ + c$^{2}$ = 2ab + 2c(c – b)

⇔ a$^{2}$ + c$^{2}$ = 2ab + 2c(b – a) = 2ab + 2bc – 2ac.

Đáp án đúng là: B

Ta có a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

a + c = 2b ⇔ – 2(a + c) = – 2.2b

⇔ (– 2a) + (– 2c) = 2.(– 2b)

⇔ – 2c, –2b, –2a lập thành một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên: a + c = 2b ⇔ a = 2b – c

Ta có: a$^{2}$ – 2ab = a$^{2}$ – a(a + c) = – ac

= – c(2b – c) = c$^{2}$ – 2bc.

Vậy a$^{2}$ − 2ab = c$^{2}$ − 2bc ; a$^{2}$ − 2ab = − ac và − ac = c$^{2}$ − 2bc.

Đáp án đúng là: C

Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b ⇔ a = 2b – c

Khi đó: a$^{2}$ + 8bc = (2b – c)$^{2}$ + 8bc = 4b$^{2}$ – 4bc + c$^{2}$ + 8bc

= 4b$^{2}$ + 4bc + c$^{2}$ = (2b + c)$^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta chứng minh ba số: a$^{2}$ + ab + b$^{2}$; a$^{2}$ + ac + c$^{2}$ ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Thật vậy:

(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) + (b$^{2}$ + bc + c$^{2}$) = 2(a$^{2}$ + ac + c$^{2}$) (*)

⇔ 2b$^{2}$ + ab + bc = a$^{2}$ + 2ac + c$^{2}$

⇔ 2b$^{2}$ + b(a + c) = (a + c)$^{2}$

⇔ 2b$^{2}$ + 2b$^{2}$ = (2b)$^{2}$

⇔ 4b$^{2}$ = 4b$^{2}$ (luôn đúng) nên (*) đúng.

Do đó ba số: a$^{2}$ + ab + b$^{2}$; a$^{2}$ + ac + c$^{2}$ ; b$^{2}$ + bc + c$^{2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Do $\cot \frac{A}{2},\,\cot \frac{B}{2},\,\cot \frac{C}{2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2} = 2\cot \frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{{\cos \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{A}{2} + \cos \frac{C}{2} \cdot \sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}$

$\Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} = 2\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \left[ {\cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) - \cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)} \right] \cdot \cos \frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) - \frac{1}{2}\sin B$$

$$\Leftrightarrow \sin {\rm{B}} = \frac{1}{2}(\sin A + \sin C) \Leftrightarrow 2\sin {\rm{B}} = \sin {\rm{A}} + \sin {\rm{C}} \,\, (*)$$

Áp dụng định lí sin trong tam giác suy ra:

$\sin {\rm{A}} = \frac{a}{{2R}}\,;\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}}\,;\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}$ thay vào (*) ta được:

$$2 \cdot \frac{b}{{2R}} = \frac{a}{{2R}} + \frac{c}{{2R}} \Leftrightarrow 2\;{\rm{b}} = {\rm{a}} + {\rm{c}}$$

Do đó, ba cạnh của tam giác ABC tạo thành cấp số cộng.

Đáp án đúng là: A

Do bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai nên ta có:

t – x = 2d và z – y = d

⇒ t – x = 2(z – y) ⇔ (t – x)$^{2}$ = 4( z – y)$^{2}$

⇔ t$^{2}$ – 2tx + x$^{2}$ = 4(z$^{2}$ – 2zy+ y$^{2}$)

⇔ t$^{2}$ – 2tx + x$^{2}$ = 4z$^{2}$ – 8zy + 4y$^{2}$

⇔ t$^{2}$ − 2(x+3d). x + x$^{2}$ = 4z$^{2}$ − 8(x + 2d).(x + d) + 4y$^{2}$

⇔ t$^{2}$ – 2x$^{2}$ – 6dx + x$^{2}$ = 4z$^{2}$ – 8x$^{2}$ – 24dx – 16d + 4y$^{2}$

⇔ t$^{2}$ – x$^{2}$ – 6dx = 4z$^{2}$ – 8x$^{2}$ – 24dx – 16d + 4y$^{2}$

⇔ t$^{2}$+ 7x$^{2}$+ 18dx = 4z$^{2}$ – 16d + 4y$^{2}$

Đáp án đúng là: C

Do x + 1; y + 3 và z – 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d nên:

y + 3 = (x + 1) + d ⇔ y + 2 = x + d.

Đáp án đúng là: C

Do x – 1; y + 1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

x – 1 + z = 2(y + 1) ⇔ x + z – 1 = 2y + 2

⇔ z = 2y – x + 3.