Trắc nghiệm Phương trình bậc hai một ẩn lớp 9 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: B

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng $a{x^2} + bx + c = 0,$ trong đó $x$ là ẩn; $a,\,\,b,\,\,c$ là những số cho trước gọi là hệ số và $a \ne 0$.

Do đó, phương trình $2{x^2} - 2022 = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: C

Đáp án C sai vì ${x^2} - 4x - 5 = 0$ trong đó $a = 1;\,\,b = - 4;\,\,c = - 5.$

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có $\Delta = {b^2} - 4ac.$

Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}.$

Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}.$

Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi $\Delta \ge 0.$

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\,,$với $b = 2b'$ và $\Delta ' = {b'^2} - 4ac.$

Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};\,\,{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}.$

Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}.$

Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Phương trình $2{x^2} - 5x + 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.2 = 9 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{5 + \sqrt 9 }}{{2.2}} = 2$ và ${x_1} = \frac{{5 - \sqrt 9 }}{{2.2}} = \frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Phương trình $9{x^2} - 30x + 25 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 30} \right)^2} - 4.9.25 = 0$

Suy ra phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{30}}{{2.9}} = \frac{5}{3}.$

Đáp án đúng là: D

Phương trình $3{x^2} + 6x + 9 = 0$ có $\Delta = {6^2} - 4.3.9 = - 72 < 0$.

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Phương trình nhận $x = 1$ và $x = - 3$ làm nghiệm có dạng:

$\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$ hay ${x^2} + 3x - x - 3 = 0$ hay ${x^2} + 2x - 3 = 0.$

Đáp án đúng là: D

Phương trình $\left( 1 \right)$ có $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.8 = 4 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình $\left( 2 \right)$ có $\Delta = {2^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 16 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là: B

Phương trình ${x^2} - 7x + 12 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.12 = 1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{7 - 1}}{2};\,\,{x_2} = \frac{{7 + 1}}{2} = 4.$

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là $3 + 4 = 7.$

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $m{x^2} - 3x + 1 = 0$ có biệt thức là $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4m = 9 - 4m$.

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$,

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\9 - 4m > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \frac{9}{4}\end{array} \right.$.

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $m < \frac{9}{4},m \ne 0$.

c) Sai.

Để phương trình vô nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\9 - 4m < 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \frac{4}{9}\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện được $m > \frac{9}{4}$.

Vậy để phương trình vô nghiệm thì $m > \frac{9}{4}$.

d) Đúng.

Thay $x = \frac{2}{3}$ vào phương trình, ta được: $m{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 3.\frac{2}{3} + 1 = 0$ hay $\frac{4}{9}m - 1 = 0$ do đó $\frac{4}{9}m = 1$ suy ra $m = \frac{9}{4}$.

Phương trình có nghiệm kép $x = \frac{2}{3}$ khi $m = \frac{9}{4}$.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Để phương trình luôn có nghiệm thì ta có: $\Delta ' \ge 0$, suy ra:

${\left( {m + 1} \right)^2} - 3m \ge 0$ hay ${m^2} - m + 1 \ge 0$ nên ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0$ (luôn đúng với mọi $m$)

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

b) Đúng.

Để phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0$ có nghiệm kép thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m = 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\end{array} \right.$.

Nhận thấy ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng với mọi $m$.

Do đó ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0$ vô nghiệm.

Vậy không có giá trị $m$ thỏa mãn để phương trình có nghiệm kép.

c) Đúng.

Xét với $m = 0$ thì ta có $- 2x + 3 = 0$ suy ra $x = \frac{3}{2}$.

Do đó với $m = 0$ thì phương trình có đúng một nghiệm là $x = \frac{3}{2}$.

d) Sai.

Để phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m > 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\end{array} \right.$.

Nhận thấy ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng với mọi $m$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $m \ne 0$.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Với $m = 2$, ta có: ${x^2} - 1 = 0$ suy ra ${x^2} = 1$.

Do đó, $x = 1$ hoặc $x = - 1$.

Vậy với $m = 2$ thì phương trình có nghiệm là $\left\{ { - 1;\,\,1} \right\}$.

b) Đúng.

Nhận thấy $\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2m - 3 = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R}$.

c) Sai.

Để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thì:

$\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \ne 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\m \ne 1\end{array} \right.$.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\m \ne 1\end{array} \right.$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) Đúng.

Xét $2m - 3 = 0$ suy ra $m = \frac{3}{2}$ thì ta có phương trình $x - 1 = 0$ suy ra $x = 1$. (1)

Xét $2m - 3 \ne 0$ suy ra $m \ne \frac{3}{2}$ thì ta có phương trình $\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0$.

Nhận thấy tổng các hệ số $2m - 3 + \left[ { - 2\left( {m - 2} \right)} \right] + \left( { - 1} \right) = 2m - 3 - 2m + 4 - 1 = 0$.

Do đó, phương trình có nghiệm $x = 1$ và $x = \frac{{ - 1}}{{2m - 3}}$. (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình luôn có nghiệm $x = 1$.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Với $m = - 2$ ta được: $- 4{x^2} + 2x - 2 = 0$ hay $- 2{x^2} + x - 1 = 0$.

Xét $\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 1 - 8 = - 7 < 0$.

Do đó, với $m = - 2$ thì phương trình vô nghiệm.

b) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) > 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > - \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Vậy với $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > - \frac{1}{4}\end{array} \right.$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Đúng.

Để phương trình có nghiệm kép thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 2} \right) = 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 = 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Vậy với $m = - \frac{1}{4}$ thì phương trình có nghiệm kép.

d) Đúng.

Để phương trình có đúng một nghiệm thì phương trình trở thành phương trình bậc nhất. Do đó, $m - 2 = 0$, suy ra $m = 2$.

Với $m = 2$, ta có: $6x + 2 = 0$ suy ra $x = - \frac{1}{3}$.

Vậy với $m = 2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = - \frac{1}{3}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Với $m = 3$, ta có phương trình: ${x^2} - 2x + 5 = 0$ hay ${\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0$.

Nhận thấy ${\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > 0$ với mọi $x$.

Do đó, phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0$ vô nghiệm.

Vậy với $m = 3$ thì phương trình vô nghiệm.

b) Đúng.

Thay $x = - 4$ vào phương trình, ta có:

$${\left( { - 4} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right).\left( { - 4} \right) + {m^2} - 3m + 5 = 0$$

$$16 + 8m - 16 + {m^2} - 3m + 5 = 0$$

${m^2} + 5m + 5 = 0$ (*)

Xét phương trình (*), ta có:$\Delta = {5^2} - 5.4 = 5 > 0$.

Do đó, ta có ${m_1} = \frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}$ và ${m_2} = \frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2}$.

Vậy các giá trị của $m$ để phương trình có một trong các nghiệm bằng $- 4$ là: $\left\{ {\frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}$.

c) Đúng.

Để phương trình có nghiệm kép thì phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0$ có biệt thức $\Delta ' = 0.$

Ta có: $\Delta ' = 0$ suy ra ${\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 = 0$ hay $- m - 1 = 0$ suy ra $m = - 1$.

Vậy với $m = - 1$ thì phương trình có nghiệm kép.

d) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ${x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0$ có biệt thức $\Delta ' > 0.$

Do đó, ${\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 > 0$ hay $- m - 1 > 0$, suy ra $m < - 1$.

Đáp án: 2

Đặt ${x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 6t - 7 = 0$

$\left( {t + 1} \right)\left( {t + 7} \right) = 0$

$t + 1 = 0$ hoặc $t - 7 = 0$

$t = - 1$ hoặc $t = 7.$

Đối chiếu với điều kiện $t \ge 0$ ta được $t = 7.$

Với $t = 7$ ta có ${x^2} = 7$.

Do đó $x = \sqrt 7$ hoặc $x = - \sqrt 7$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Đáp án: 2

Để phương trình $\left( {m + 7} \right){x^2} - 2\left( {m - 9} \right)x - 7m + 15 = 0$ là phương trình bậc hai thì $m + 7 \ne 0$ hay $m \ne - 7$.

Ta có: $\Delta ' = {\left( {m - 9} \right)^2} + \left( {m - 7} \right)\left( {7m - 15} \right)$

$= {m^2} - 18m + 81 + 7{m^2} - 15m + 49m - 105$

$= 8{m^2} + 16m - 24$

$= 8\left( {{m^2} + 2m - 3} \right)$

$\Delta ' = 0$, do đó $8\left( {{m^2} + 2m - 3} \right) = 0$

$\left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0$

$m = 1$ hoặc $m = - 3$ (thỏa mãn)

Do đó, có hai giá trị của $m$ thỏa mãn để phương trình có nghiệm kép.

Đáp án: 7

Để phương trình vô nghiệm thì $\Delta < 0$ hay $\Delta = {m^2} - 4 \cdot 3 < 0$.

Suy ra ${m^2} - 12 < 0$ nên $\Delta < 0$$- \sqrt {12} < m < \sqrt {12}$ hay $- 3{,}46... < m < 3{,}46...$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in {\rm{\{ }} - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3\}$.

Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.

Đáp án: −9

Ta có $\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right) = 504$

$\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)} \right]\left[ {\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)} \right] = 504$

$\left( {{x^2} + 8x + 12} \right)\left( {{x^2} + 8x + 15} \right) = 504\,\,\,\left( * \right)$

Đặt $t = {x^2} + 8x$, phương trình $\left( * \right)$ trở thành $\left( {t + 12} \right)\left( {t + 15} \right) = 420$

${t^2} + 27t + 180 = 504$

${t^2} + 27t - 324 = 0$

$\left( {t - 9} \right)\left( {t + 36} \right) = 0$

$t = 9$ hoặc $t = - 32.$

Ta xét hai trường hợp sau:

Với $t = 9$ ta có:

${x^2} + 8x = 9$

${x^2} + 8x - 9 = 0$

$\left( {x - 1} \right)\left( {x + 9} \right) = 0$

$x = 1$ hoặc $x = - 9.$

Với $t = - 32$ ta có:

${x^2} + 8x = - 32$

${x^2} + 8x + 32 = 0$

$\left( {{x^2} + 8x + 16} \right) + 16 = 0$

${\left( {x + 4} \right)^2} + 16 = 0\,\,\,\left( {***} \right)$

Vì ${\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R},$ nên phương trình $\left( {***} \right)$ vô nghiệm.

Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho là: $1 \cdot \left( { - 9} \right) = - 9.$

Đáp án: 2

Vì $x = - 2$ là nghiệm của phương trình nên ta có:

$4m + 6\left( {m + 1} \right) + {m^2} - 13m - 4 = 0$

$4m + 6m + 6 + {m^2} - 13m - 4 = 0$

${m^2} - 3m + 2 = 0$

$\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0$

Suy ra $m = 1$ hoặc $m = 2$.

• Với $m = 1$ thì ta có phương trình ${x^2} - 6x - 16 = 0$.

Giải phương trình, được: ${x^2} - 8x + 2x - 16 = 0$

$\left( {x - 8} \right)x + 2\left( {x - 8} \right) = 0$

$\left( {x - 8} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

Suy ra $x = 8$ hoặc $x = - 2$.

• Với $m = 2$ thì ta có phương trình $2{x^2} - 9x - 26 = 0$

$2{x^2} - 13x + 4x - 26 = 0$

$\left( {2x - 13} \right)x + 2\left( {2x - 13} \right) = 0$

$\left( {2x - 13} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

Suy ra $x = \frac{{13}}{2}$ hoặc $x = - 2$.