Trắc nghiệm Bài tập cuối chương 2 lớp 8 (có đúng sai , trả lời ngắn)

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $27{y^3} + 9{y^2} + y + \frac{1}{{27}} = {\left( {3y} \right)^3} + 3 \cdot {\left( {3y} \right)^2} \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot 3y \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = {\left( {3y + \frac{1}{3}} \right)^3}$.

Do đó, chọn đáp án A.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = {\left( {2x} \right)^2} - {3^2} = 4{x^2} - 9.$

Do đó, chọn đáp án A.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\left( {\frac{1}{2}x - y} \right)^2} = \frac{1}{4}{x^2} - 2.\frac{1}{2}x \cdot y + {y^2} = \frac{1}{4}{x^2} - xy + {y^2}$.

Do đó, chọn đáp án B.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} - {a^2} + 2ab - {b^2} = 4ab.$

Do đó, chọn đáp án A.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$.

Do đó, chọn đáp án A.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Xét các đáp án, ta có:

$27 + 27x + 9{x^2} + {x^3} = {3^3} + 3 \cdot {3^2} \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot {x^2} + {x^3} = {\left( {3 + x} \right)^3}$. Do đó, đáp án A là đúng.

${x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}.$ Do đó, đáp án B là sai.

$1 - 2y + {y^2} = {\left( {y - 1} \right)^2}.$ Do đó, đáp án C là sai.

$1 - {x^2}{y^4} = \left( {1 - x{y^2}} \right)\left( {1 + x{y^2}} \right)$. Do đó, đáp án D là sai.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $Q = \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right) + \left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right) = {x^3} - {y^3} + {x^3} + {y^3} = 2{x^3}$.

Do đó, đáp án D là đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta có:

• ${\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} - {a^2} + 2ab - {b^2} = 4ab.$ Do đó, đẳng thức đúng.

• ${\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} + {a^2} - 2ab + {b^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right).$ Do đó, đẳng thức đúng.

• ${\left( { - a - b} \right)^2} = {\left[ { - \left( {a + b} \right)} \right]^2} = {\left( {a + b} \right)^2}.$ Do đó, đẳng thức sai.

• $\left( { - a - b} \right)\left( { - a + b} \right) = {\left( { - a} \right)^2} - {b^2} = {a^2} - {b^2}.$ Do đó, đẳng thức đúng.

Vậy chọn đáp án C.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${a^3} - {a^2}x - a{y^2} + x{y^2} = {a^2}\left( {a - x} \right) - {y^2}\left( {a - x} \right) = \left( {a - x} \right)\left( {{a^2} - {y^2}} \right) = \left( {a - x} \right)\left( {a + y} \right)\left( {a - y} \right).$

Do đó, chọn đáp án B.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta có:

• $A = {x^2} - x - 6 = {x^2} - 2 \cdot \frac{1}{2}x + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 6 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4}$.

Nhận thấy ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4} \ge - \frac{{25}}{4}$ hay $A$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{{25}}{4}$.

Do đó, đáp án A loại.

• $B = {x^2} + x - 2 = {x^2} + 2 \cdot \frac{1}{2}x + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{9}{4}$.

Nhận thấy ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{9}{4} \ge - \frac{9}{4}$ hay $B$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{9}{4}$.

Do đó, đáp án B loại.

• $C = {x^2} - x + 1 = {x^2} - 2 \cdot \frac{1}{2}x + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$.

Nhận thấy ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}$ hay $C$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$.

Do đó, đáp án C là đúng.

• $D = {x^2} + 6x - 1 = {x^2} + 2 \cdot 3x + {3^2} - 1 - {3^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} - 10$.

Nhận thấy ${\left( {x + 3} \right)^2} - 10 \ge - 10$ hay $D$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- 10$.

Do đó, đáp án D loại.

Lời giải

a) Sai

Ta có: $C = - {x^2} - {y^2} + 4x - 4y + 2 = - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) + 10 = 10 - {\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {y + 2} \right)^2}$.

b) Đúng

Nhận thấy $- \left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \right] \le 0$ với mọi $x,y$.

Do đó, $10 - {\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} \le 10$.

Suy ra không có giá trị nào của $x,y$ để $C = 0$.

c) Sai

Vì $10 - {\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} \le 10$ nên giá trị lớn nhất của $C = 10$.

d) Đúng

Giá trị lớn nhất của $C = 10$ khi $x - 2 = 0$ và $y + 2 = 0$.

Do đó, giá trị lớn nhất của $C = 10$ khi $x = 2$ và $y = - 2$.

Lời giải

a) Đúng

Chu vi hình vuông nhỏ là $4x$ cm.

Chu vi hình vuông lớn là $4y$ cm.

Tổng chiều dài các thành kim loại làm khung là 168 cm nên $4x + 4y = 168$.

b) Sai

Đa thức biểu diện phần diện tích không gắn ảnh (màu vàng) là $S = {y^2} - {x^2}$ (cm$^{2}$).

Mà diện tích phần không gắn ảnh là 252 cm$^{2}$ nên ta có: ${y^2} - {x^2} = 252$.

c) Sai

Ta có: $4x + 4y = 168$ hay $4\left( {x + y} \right) = 168$ suy ra $x + y = 42$.

Có ${y^2} - {x^2} = 252$ hay $\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 252$ suy ra $42\left( {y - x} \right) = 252$ nên $y - x = 6$.

Do đó, $y = 6 + x$. Thay vào $x + y = 42$, ta được:

$x + x + 6 = 42$ hay $2x = 36$, do đó $x = 18$ (cm).

Suy ra độ dài cạnh của hình vuông lớn là $y = 18 + 6 = 24$ (cm).

d) Đúng

Diện tích hình vuông nhỏ chính là diện tích phần gắn ảnh.

Do đó, diện tích phần gắn ảnh là ${18^2} = 324$ (cm$^{2}$).

Lời giải

a) Đúng

Chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật này là $\frac{1}{2}.20 = 10$ (m).

Diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật đó là: $10 \cdot 20 = 200$ (m$^{2}$).

b) Đúng

Chiều dài của thửa ruộng sau khi giảm $x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ là $20 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Chiều rộng của thửa ruộng sau khi tăng $x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ là $10 + x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Do đó, diện tích của thửa ruộng sau khi thay đổi chiều dài, chiều rộng là $\left( {20 - x} \right)\left( {10 + x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

c) Đúng

Nhận thấy, $S = \left( {20 - x} \right)\left( {10 + x} \right) = - {x^2} + 10x + 200 = - {\left( {x - 5} \right)^2} + 225$.

Nhận thấy $- {\left( {x - 5} \right)^2} + 225 \le 225$ với mọi $x$ hay giá trị lớn nhất của $S = 225{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$

d) Sai

Từ trên, nhận thấy diện tích thửa ruộng đạt giá trị lớn nhất bằng $225{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$ khi $- {\left( {x - 5} \right)^2} = 0$.

Suy ra $x = 5.$

Lời giải

a) Đúng

Vì độ dài đoạn dây lớn và nhỏ được cắt ra lần lượt là $4x$ và $4y$ $\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*},{\rm{ cm}}} \right)$ thì cạnh mỗi hình vuông lớn và nhỏ có độ dài lần lượt là $x$ và $y$ (cm).

Vì $4x + 4y = 200$ nên $x + y = 50$ (cm).

Do đó, tổng độ dài hai cạnh hình vuông lớn và nhỏ là 50 cm.

b) Đúng

Diện tích phần nằm giữa hai hình vuông là: $S = {x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) = 50\left( {x - y} \right){\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

c) Đúng

Để diện tích phần nằm giữa hai hình vuông lớn nhất thì $\left( {x - y} \right)$ phải đạt giá trị lớn nhất.

Mà $x + y = 50$, khi đó $x = 49{\rm{ cm}},y = 1{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

d) Đúng

Với $x = 49{\rm{ cm}}$ thì độ dài của đoạn dây thứ nhất là $49 \cdot 4 = 196{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Với $y = 1{\rm{ cm}}$ thì độ dài của đoạn dây thứ hai là $1 \cdot 4 = 4{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Để diện tích phần nằm giữa hai hình vuông lớn nhất thì cắt sợi dây có độ dài thành hai đoạn 196 cm và 4 cm.

Lời giải

a) Đúng

Phần lòng trong của thùng có độ dài cạnh là: $x - 3 - 3 = x - 6$ (cm).

b) Đúng

Thể tích của thùng là ${x^3}$ (cm$^{3}$).

c) Đúng

Thể tích phần dung tích của thùng là ${\left( {x - 6} \right)^3}$ cm$^{3}$.

d) Sai

Thể tích phần vỏ của thùng là: ${x^3} - {\left( {x - 6} \right)^3} = {x^3} - {x^3} + 18{x^2} - 108x + 216 = 18{x^2} - 108x + 216$ (cm$^{3}$).

Lời giải

Đáp án: 88

Ta có: ${\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} = 20 + 2xy = 16$ suy ra $xy = - 2$.

Lại có, ${x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 4 \cdot \left( {20 + 2} \right) = 88$.

Lời giải

Đáp án: $0{,}5$

Ta có: $A = {x^3} + {y^3} + xy = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + xy = {x^2} - xy + {y^2} + xy = {x^2} + {y^2}$ (do $x + y = 1$).

Vì $x + y = 1$ nên $y = 1 - x$, thay vào $A$ ta được:

$A = {x^2} + {\left( {1 - x} \right)^2} = {x^2} + {x^2} - 2x + 1 = 2\left( {{x^2} - x} \right) + 1 = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}$ hay $A \ge 0{,}5.$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $A = 0{,}5$ khi $x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}.$

Lời giải

Đáp án: 2

Ta có: ${\left( {3x + 4} \right)^2} - \left( {3x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right) = 65$

$9{x^2} + 24x + 16 - 9{x^2} + 1 - 65 = 0$

$24x - 48 = 0$

$24x = 48$

$x = 48:24$

$x = 2$.

Vậy $x = 2$,

Lời giải

Đáp án: 425

Ta có: $x + y = 15$, do đó ${\left( {x + y} \right)^2} = {15^2}$ hay ${x^2} + 2xy + {y^2} = 225$ (1)

Thay $xy = - 100$ vào (1) ta có: ${x^2} + 2 \cdot \left( { - 100} \right) + {y^2} = 225$.

Suy ra ${x^2} + {y^2} = 225 + 200$ hay ${x^2} + {y^2} = 425$.

Vậy $B = 425.$

Lời giải

Đáp án: 0

Ta có: $3{x^2} + {y^2} + 10x - 2xy + 29 = 0$

${x^2} - 2xy + {y^2} + 2{x^2} + 10x + 29 = 0$

${\left( {x - y} \right)^2} + 2{\left( {x + 2{,}5} \right)^2} + 16{,}5 = 0$

Nhận thấy ${\left( {x - y} \right)^2} + 2{\left( {x + 2{,}5} \right)^2} \ge 0$ do đó, ${\left( {x - y} \right)^2} + 2{\left( {x + 2{,}5} \right)^2} + 16{,}5 \ge 16{,}5$.

Do đó, không có cặp số $\left( {x;y} \right)$ nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.