(Trả lời ngắn) 27 bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (có lời giải)

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

${\rm{P}}(B\mid A) = \frac{{{\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B)}}{{{\rm{P}}(A)}} = \frac{{0{,}4 \cdot 0{,}3}}{{0{,}6}} = 0{,}2.$

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(B)}} = \frac{{0{,}4 \cdot 0{,}3}}{{0{,}8}} = 0{,}15$

Ta có $P(B) = 0{,}6$. Suy ra $P(\bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 + 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}58.{\rm{ }}$

Xét các biến cố:

“Người được chọn mắc bệnh X”;

“Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y”.

Theo giả thiết ta có: $P\left( A \right) = 0.002{\kern 1pt} ;\quad P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0.002 = 0.998$;

$$P\left( {A\left| B \right.} \right) = 1{\kern 1pt} ;\quad P\left( {\left. {B{\kern 1pt} } \right|\overline A } \right) = 0.06.$$

Theo công thức Bayes, ta có:

$$P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {A\left| B \right.} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {A\left| B \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right)}} = \frac{{0{,}002.1}}{{0{,}002.1 + 0{,}998.0{,}06}} \approx 0{,}03$$

Vậy nếu người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y thì xác suất bị mắc bệnh X của người đó là khoảng 0,03.

Xét các biến cố: $A$: "Lấy được 1 chính phẩm từ thùng I sang thùng II";

$B$: "Lây được 1 chính phẩm từ thùng II".

Khi đó, $P\left( A \right) = \frac{5}{9};\,\,P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{9};\,\,P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{15}};\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố $B$ là: $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{9}.\frac{7}{{15}} + \frac{4}{9}.\frac{2}{5} \approx 0{,}44$.

Xét các biến cố $A$: "Chọn được người bi bệnh cúm";

$B$: "Chọn được người có phản ứng dương tính".

Khi đó $P\left( A \right) = 0{,}25;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0{,}75;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0{,}96;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}08$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố $B$ là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}25.0{,}96 + 0{,}75.0{,}08 = 0{,}3$.

Xét các biến cố: $A$: "Chọn được tré em nam";

$B$: "Chọn được trẻ em nam bị hen phế quån".

Khi đó, $P\left( A \right) = \frac{{1{,}5}}{{1 + 1{,}5}} = 0{,}6;\,\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0{,}4;\,\,\,P\left( {B|A} \right) = 0{,}08;\,\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}05.$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}6.0{,}08 + 0{,}4.0{,}05 = 0{,}068$.

Xét các biến cố: $A$: "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc";

$B$: “Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar”.

Khi đó, $P\left( A \right) = 0{,}2;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0{,}8;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0{,}85;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}1$.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}2.0{,}85 + 0{,}8.0{,}1 = 0{,}25$.

Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\backslash A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}2.0{,}85}}{{0{,}25}} = 0{,}68$.

Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi

- A là biến cố "Người đó có hút thuốc lá"

- B là biến cố "Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp".

Ta có sơ đồ hình cây sau:

Ta có: $P(B) = P(A){\rm{ }}.P(B|A) + P(\overline A ){\rm{ }}.P(B|\overline A ) = 0{,}14 + 0{,}12 = 0{,}26$.
Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đề
sức khoẻ về đường hô hấp là $26\%$.

Theo công thức Bayes, ta có: $P(A|B) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}14}}{{0{,}26}} \approx 0{,}54$
Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường
hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là khoảng $54\%$

- Gọi $A$ là sự kiện "sản phẩm được kiểm tra là loại một"; ${B_1},{B_2},{B_3}$ lần lượt là sự kiện "sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I, II và III sản xuất".

- Hệ $\left\{ {{B_1},{B_2},{B_3}} \right\}$ tạo thành một hệ đầy đủ với $P\left( {{B_1}} \right) = 0{,}2,P\left( {{B_2}} \right) = 0{,}5$ và $P\left( {{B_3}} \right) = 0{,}3$.

- Áp dụng công thức xác suất đầy đủ với $P\left( {A\mid {B_1}} \right) = 0{,}7,P\left( {A\mid {B_2}} \right) = 0{,}8$ và $P\left( {A\mid {B_3}} \right) = 0{,}6$ ta nhận được

$\begin{array}{l}P(A) = P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\mid {B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right)P\left( {A\mid {B_2}} \right) + P\left( {{B_3}} \right)P\left( {A\mid {B_3}} \right)\\{\rm{ }} = 0{,}2 \times 0{,}7 + 0{,}5 \times 0{,}8 + 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}72 = 72\% \end{array}$

a) Gọi ${B_1}$ là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại I", ${B_2}$ là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại II", $A$ là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất có kết quả tốt". Ta thấy $\left\{ {{B_1},{B_2}} \right\}$ là hệ đầy đủ các biến cố và

$\begin{array}{l}\mathbb{P}\left( {{B_1}} \right) = \frac{4}{{10}},\mathbb{P}\left( {{B_2}} \right) = \frac{6}{{10}}\\\mathbb{P}\left( {A\mid {B_1}} \right) = 0{,}9,\mathbb{P}\left( {A\mid {B_2}} \right) = 0{,}5\end{array}$

Theo công thức xác suất đầy đủ

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\mathbb{P}(A)}&{ = \mathbb{P}\left( {{B_1}} \right)\mathbb{P}\left( {A\mid {B_1}} \right) + \mathbb{P}\left( {{B_2}} \right)\mathbb{P}\left( {A\mid {B_2}} \right)}\\{}&{ = \frac{4}{{10}} \times 0{,}9 + \frac{6}{{10}} \times 0{,}5}\\{}&{ = 0{,}66}\end{array}$

Ta cần tính xác suất $\mathbb{P}\left( {{B_1}\mid A} \right)$, theo công thức Bayes

$$\mathbb{P}\left( {{B_1}\mid A} \right) = \frac{{\mathbb{P}\left( {{B_1}} \right)\mathbb{P}\left( {A\mid {B_1}} \right)}}{{\mathbb{P}(A)}} = \frac{{\frac{4}{{10}} \times 0{,}9}}{{0{,}66}} = \frac{6}{{11}} \approx 0{,}545$$

Xét các biến cố $A$: "Chọn được người bi bệnh cúm";

$B$: "Chọn được người có phản ứng dương tính".

Khi đó $P\left( A \right) = 0{,}25;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0{,}75;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0{,}96;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}08$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố $B$ là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}25.0{,}96 + 0{,}75.0{,}08 = 0{,}3$.

Xét các biến cố: $A$: "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc";

$B$: “Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar”.

Khi đó, $P\left( A \right) = 0{,}2;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0{,}8;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0{,}85;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}1$.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}2.0{,}85 + 0{,}8.0{,}1 = 0{,}25$.

Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}2.0{,}85}}{{0{,}25}} = 0{,}68.$

Gọi A là biến cố: “Chọn chuồng I";

$B$ là biến cố: "Bắt được gà mái".

Vi nếu tung xúc xắc mà số chấm xuất hiện chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I nên ta có $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Suy ra $P(\bar A) = 1 - P(A) = \frac{2}{3}$.

Từ dữ kiện bài ra, ta suy ra được: $P(B\mid A) = \frac{5}{7},P(B\mid \bar A) = \frac{3}{8}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{{41}}{{84}} \approx 0{,}4881$

Vậy xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là 0,4881 .

Xét các biến cố:

A: "Chọn được áo chất lượng cao";

$B$ : "Chọn được áo ở chi nhánh I";

$\bar B:$ Chọn được áo ở chi nhánh ${\rm{I}}{{\rm{I}}^\prime }$.

Từ giả thiết, ta có: ${\rm{P}}(B) = 0{,}56;{\rm{P}}(A\mid B) = 0{,}75;{\rm{P}}(\bar B) = 0{,}44;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0{,}68.$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0{,}56 \cdot 0{,}75 + 0{,}44 \cdot 0{,}68 = 0{,}7192.{\rm{ }}$

Vậy xác suất chọn được áo chất lượng cao là 0,7192 .

Xét các biến cố:

A: "Chọn được người không bị bệnh tiểu đường";

$B$ : "Chọn được người cao tuổi là nam";

$\bar B$ : "Chọn được người cao tuổi là nữ".

Từ giả thiết, ta có: ${\rm{P}}(B) = \frac{{260}}{{500}} = 0{,}52;{\rm{P}}(A\mid B) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$;

${\rm{P}}(\bar B) = \frac{{240}}{{500}} = 0{,}48;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45.{\rm{ }}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0{,}52 \cdot 0{,}6 + 0{,}48 \cdot 0{,}45 = 0{,}528.{\rm{ }}$

Vậy xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là 0,528 .

Vì hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng nên khi lấy 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất thì có hai khả năng: khả năng thứ nhất là lấy được 3 quả bóng bàn màu trắng và 1 quả bóng bàn màu vàng; khả năng thứ hai là lấy được 2 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng.

Xét các biến cố:

A: "Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai";

$B$ : "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng"; $\bar B$ : "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng".

- Xét khả năng thư nhất: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là ${\rm{C}}_5^4$, có 1 cách lấy 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 cách lấy 1 quả bóng bàn màu vàng, suy ra ${\rm{P}}(B) = \frac{{1 \cdot 2}}{{{\rm{C}}_5^4}} = \frac{2}{5}$. Vì khi đó hộp thứ hai có 9 quả bóng bàn màu trắng và 5 quả bóng bàn màu vàng nên ${\rm{P}}(A\mid B) = \frac{5}{{14}}$.

- Xét khả năng thú hai: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là ${\rm{C}}_5^4$, có ${\rm{C}}_3^2$ cách lấy 2 quả bóng bàn màu trắng và 1 cách lấy 2 quả bóng bàn màu vàng, suy ra ${\rm{P}}(\bar B) = \frac{{{\rm{C}}_3^2 \cdot 1}}{{{\rm{C}}_5^4}} = \frac{3}{5}$. Vì khi đó hộp thứ hai có 8 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng nên ${\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{6}{{14}}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{{14}} + \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{{14}} = \frac{2}{5}.$

Vậy xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là $\frac{2}{5}$.

Xét các biến cố:

A: "Khách hàng được chọn chắc chắn mua";

$B$ : "Khách hàng được chọn nói sẽ mua".

Theo giả thiết, ta có:

${\rm{P}}(B) = \frac{{550}}{{800}} = \frac{{11}}{{16}};{\rm{P}}(\bar B) = \frac{{250}}{{800}} = \frac{5}{{16}};{\rm{P}}(A\mid B) = 0{,}6;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0{,}01$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B)$$= \frac{{11}}{{16}} \cdot 0{,}6 + \frac{5}{{16}} \cdot 0{,}01 = \frac{{133}}{{320}}.$

Vậy xác suất chọn được khách hàng chắc chắn mua là $\frac{{133}}{{320}}$.

Xét các biến cố:

A: "Học sinh được chọn bị cận thị";

B: "Học sinh được chọn thuộc trường Hoà Bình".

Theo giả thiết, ta có:

${\rm{P}}(B) = \frac{{350}}{{800}} = \frac{7}{{16}};{\rm{P}}(\bar B) = \frac{{450}}{{800}} = \frac{9}{{16}};{\rm{P}}(A\mid B) = 0{,}2;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0{,}3.{\rm{ }}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B)$$= \frac{7}{{16}} \cdot 0{,}2 + \frac{9}{{16}} \cdot 0{,}3 = \frac{{41}}{{160}}.$

Vậy xác suất chọn được học sinh bị cận thị là $\frac{{41}}{{160}}$.

Xét các biến cố:

A: "Lấy được viên bi màu đỏ";

B: "Chọn được hộp bi thứ nhất".

Theo giả thiết, ta có: ${\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar B) = \frac{1}{2};{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{6}{{13}};{\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{{10}}{{21}}.$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{13}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{10}}{{21}} = \frac{{128}}{{273}}.$

Vậy xác suất để viên bi được lấy có màu đỏ là $\frac{{128}}{{273}}$.

Xét biến cố $M$ : "Thí nghiệm thứ nhất thành công".

Khi đó, ${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(M \cap C);{\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar M \cap C)$.

Theo giả thiết, ta có: ${\rm{P}}(M) = 0{,}6;{\rm{P}}(\bar M) = 0{,}4;{\rm{P}}(C\mid M) = 0{,}8;{\rm{P}}(C\mid \bar M) = 0{,}3$.

Suy ra xác suất của biến cố $A$ là:

${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(M \cap C) = {\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(C\mid M) = 0{,}6 \cdot 0{,}8 = 0{,}48;$

Xác suất của biến cố $B$ là: ${\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar M \cap C) = {\rm{P}}(\bar M) \cdot {\rm{P}}(C\mid \bar M) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12.$

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố $C$ là:

${\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(M \cap C) + {\rm{P}}(\bar M \cap C) = 0{,}48 + 0{,}12 = 0{,}6.$