(Trả lời ngắn) 22 bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải)

$\frac{4}{{15}}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} + x - 1$, $y = {x^4} + x - 1$, $x = - 1,x = 1$ là

$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|{\rm{d}}} x = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|{\rm{d}}} x + \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|{\rm{d}}} x$

$= \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - {x^4}} \right){\rm{d}}} x} \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - {x^4}} \right){\rm{d}}} x} \right| = \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}0\\ - 1\end{array} \right.} \right| + \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right.} \right| = \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{15}} = \frac{4}{{15}}$.

$$t = 3$$

Ta có: $S\left( t \right) = \int\limits_1^t {\left| {2x + 1} \right|} {\rm{ d}}x = \int\limits_1^t {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{ d}}x$.

Suy ra $S\left( t \right) = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^t = {t^2} + t - 2$.

Do đó $S\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 10 \Leftrightarrow {t^2} + t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 4{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$.

Vậy $t = 3$.

$m = 2$

Vì $m > 0$ nên $2x + 3 > 0,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,m} \right]$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x + 3$ và các đường thẳng $y = 0,\,x = 0\,,\,x = m$ là:

$S = \int\limits_0^m {\left( {2x + 3} \right).{\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^m = {m^2} + 3m$.

Theo giả thiết ta có:

$S = 10 \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 10 \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 5\,\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,m > 0} \right)$.

$\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2$

Ta có diện tích hình vuông $OABC$ là $16$ và bằng ${S_1}\, + \,{S_2}$.

${S_2} = \,\,\int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}{\rm{d}}x} \,\, = \,\left. {\,\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4\, = \,\,\frac{{16}}{3}$$\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - {S_2}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - \frac{{16}}{3}}}{{\frac{{16}}{3}}}\,\,\, = \,\,\,2$

$$k = \ln 3$$

Diện tích hình thang cong $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = {{\rm{e}}^x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \ln 4$ là

$S = \int\limits_0^{\ln 4} {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^{\ln 4} =$${{\rm{e}}^{\ln 4}} - {{\rm{e}}^0} = 4 - 1 = 3$(đvdt).

Ta có $S = {S_1} + {S_2} = {S_1} + \frac{1}{2}{S_1} = \frac{3}{2}{S_1}$. Suy ra ${S_1} = \frac{{2S}}{3} = \frac{{2.3}}{3} = 2$ (đvdt).

Vì ${S_1}$ là phần diện tích được giới hạn bởi các đường $y = {{\rm{e}}^x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = k$ nên

$2 = {S_1} = \int\limits_0^k {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^k =$${{\rm{e}}^k} - {{\rm{e}}^0} = {{\rm{e}}^k} - 1$.

Do đó ${{\rm{e}}^k} = 3 \Leftrightarrow k = \ln 3$.

$\frac{{128}}{7}$

Diện tích thiết diện là $S\left( x \right) = \sqrt {{x^3}} .\sqrt {{x^3}} = {x^6}$.

Thể tích của vật thể $\left( T \right)$ là $V = \int\limits_0^2 {S\left( x \right)} dx = \int\limits_0^2 {{x^6}} dx = \frac{{128}}{7}$.

$\frac{{11}}{6}$

Diện tích tam giác vuông cân là: $S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {4 - \frac{1}{2}{x^2}} .\sqrt {4 - \frac{1}{2}{x^2}} = \frac{1}{2}\left( {4 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)$

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^3 {\frac{1}{2}\left( {4 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx = \frac{{11}}{6}}$

$V = \frac{{81\pi }}{{35}}$

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ là :

$V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^3 {\left( {\frac{1}{9}{x^6} - \frac{2}{3}{x^5} + {x^4}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{81\pi }}{{35}}$.

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là : $V = \frac{{81\pi }}{{35}}$.

$a = 3$

Ta có: $V = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \pi } \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 8\pi$. Mà $V = 2{V_1} \Rightarrow {V_1} = 4\pi$.

Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ trên $Ox$ $\Rightarrow OK = a,\;KH = 4 - a,\;MK = \sqrt a$.

Khi xoay tam giác $OMH$quanh $Ox$ ta được khối tròn xoay là sự lắp ghép của hai khối nón sinh bởi các tam giác $OMK,\,\,MHK$, hai khối nón đó có cùng mặt đáy và có tổng chiều cao là $OH = 4$nên thể tích của khối tròn xoay đó là ${V_1} = \frac{1}{3}.\pi .4.{\left( {\sqrt a } \right)^2} = \frac{{4\pi a}}{3}$, từ đó suy ra $a = 3$.

Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^{\circ}$ nên mặt cắt là tam giác vuông cân.

Do đó diện tích của mặt cắt là: $S(x) = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {4 - {x^2}} \right) = 2 - \frac{1}{2}{x^2}$

Thể tích vật thể là: $V = \int_{ - 2}^2 {\left( {2 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}$

Ta có OABC là hình thang vuông, có đường cao OC nằm trên trục Ox .

Khi quay hình thang OABC quanh trục Ox ta được khối tròn xoay là khối nón cụt, có bán kính đáy bé ${r_1} = OA = 1$, bán kính đáy lớn ${r_2} = BC = 2$ và chiều cao $h$ $= OC = 2$.

Thể tích cần tính là: $V = \frac{1}{3}\pi \left( {r_1^2 + {r_1}{r_2} + r_2^2} \right)h = \frac{1}{3}\pi \left( {{1^2} + 1 \cdot 2 + {2^2}} \right) \cdot 2 = \frac{{14\pi }}{3}$

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5$ là:

$s = \int_0^5 v (t)dt = \int_0^5 {(3t + 4)} dt = \left. {\left( {3\frac{{{t^2}}}{2} + 4t} \right)} \right|_0^5 = 57{,}5\;{\rm{m}}$

Tốc độ của chất điểm tại thời điểm $t$ kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

$v(t) = \int a (t)dt = \int 3 dt = 3t + C{\rm{. }}$

Vì $v(0) = 1$ nên $C = 1$.

Do đó $v(t) = 3t + 1$.

Sau 10 giây tốc độ của chất điểm là: $v(10)=3.10+1=31\text{m}/\text{s}$

Ta tính diện tích phần cổng hình parabol. Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân bên trái cổng parabol như hình sau:

Gọi phương trình parabol là $y = f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$.

Parabol đi qua các điểm $(0;0),(2;4{,}8)$ và $(4;0)$ nên ta có:

Do đó, $y = f(x) = - 1{,}2{x^2} + 4{,}8x$.

Diện tích phần cổng hình parabol chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = - 1{,}2{x^2} + 4{,}8x$, trục $O x$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 4$.

Ta có ${S_p} = \int_0^4 {\left( { - 1{,}2{x^2} + 4{,}8x} \right)} dx = \left. {\left( { - 0{,}4{x^3} + 2{,}4{x^2}} \right)} \right|_0^4 = 12{,}8\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích phần mặt ngoài của bức tường cần sơn là: $S = 10 \cdot (2 + 4 + 2) - 12{,}8 = 67{,}2\left( {{m^2}} \right){\rm{. }}$

Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó là: $67{,}2 \cdot 15000 = 1008000{\rm{ (d?ng)}}{\rm{. }}$

Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái như hình dưới đây.

Gọi đồ thị hàm số biểu thị cho cửa đã cho có dạng $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$.

Đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và các điểm $(35;21),(70;0)$ nên

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\rm{c}} = 0}\\{{\rm{a}} \cdot {{35}^2} + {\rm{b}} \cdot 35 + {\rm{c}} = 21 \Leftrightarrow }\\{{\rm{a}} \cdot {{70}^2} + {\rm{b}} \cdot 70 + {\rm{c}} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\rm{a}} = - \frac{3}{{175}}}\\{\;{\rm{b}} = \frac{6}{5}}\\{{\rm{c}} = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}$Suy ra $y = - \frac{3}{{175}}{x^2} + \frac{6}{5}x$

Diện tích mặt kính cần lắp $V$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - \frac{3}{{175}}{x^2} + \frac{6}{5}x$, trục O và hai đường thẳng ${\rm{x}} = 0,{\rm{x}} = 70$.

Ta có” $V = \int_0^{70} {\left( { - \frac{3}{{175}}{x^2} + \frac{6}{5}x} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{{175}} + \frac{{3{x^2}}}{5}} \right)} \right|_0^{70} = - \frac{{{{70}^3}}}{{175}} + \frac{{3 \cdot {{70}^2}}}{5} = 980\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)$

Cửa có hình dạng một parabol $(P)$ với phương trình $y = a{x^2} + bx + c$.

Parabol $(P)$ có đỉnh $I\left( {0;\frac{9}{4}} \right)$ nên $c = \frac{9}{4}$, suy ra $(P):y = a{x^2} + bx + \frac{9}{4}$.

Vì parabol $(P)$ đi qua các điểm $A\left( { - \frac{3}{2},0} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b = - \frac{9}{4}}\\{\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b = - \frac{9}{4}}\end{array}} \right.$, suy ra $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = - 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.$

Do đó $(P):y = - {x^2} + \frac{9}{4}$.

Gọi $S\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)$ là diện tích kính cẩn lắp. Ta có $S$ bằng diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol, trục hoành và các đường thẳng $x = - \frac{3}{2},x = \frac{3}{2}$.

$S = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{2}\left( {{m^2}} \right)$

Vậy diện tích kính cản lắp là $\frac{9}{2}{m^2}$.

Chọn trục Ox như hình vẽ, hai đáy của bình nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại $x = 0$ và $x = h$.

Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x(0 \le x \le 4)$ cắt bình theo mặt cắt là hình vuông và có diện tích là $S(x) = 2 + \frac{{{x^2}}}{4}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Do đó dung tích của bình là $V = \int_0^4 {\left( {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} \right)} dx = \left. {\left( {2x + \frac{{{x^3}}}{{12}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{40}}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Thể tích thùng rượu vang đó là:

${\rm{V}} = \pi \int_{ - 35}^{35} {{{\left( { - 0{,}011{{\rm{x}}^2} - 0{,}071{\rm{x}} + 40} \right)}^2}} {\rm{dx}}$

$= \pi \int_{ - 35}^{35} {\left( {0{,}000121{{\rm{x}}^4} + 0{,}005041{{\rm{x}}^2} + 1600 + 0{,}001562{{\rm{x}}^3} - 0{,}88{{\rm{x}}^2} - 5{,}68{\rm{x}}} \right)} {\rm{dx}}$

$= \pi \int_{ - 35}^{35} {\left( {0{,}000121{{\rm{x}}^4} + 0{,}001562{{\rm{x}}^3} - 0{,}874959{{\rm{x}}^2} - 5{,}68{\rm{x}} + 1600} \right)} {\rm{dx}}$

$= \left. {\pi \left( {0{,}0000242{{\rm{x}}^5} + 0{,}0003905{{\rm{x}}^4} - 0{,}291653{{\rm{x}}^3} - 2{,}84{{\rm{x}}^2} + 1600{\rm{x}}} \right)} \right|_{ - 35}^{35}$

$= \pi [41873{,}40106 - ( - 47659{,}41294)] \approx 281275{,}6307\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích của mặt cắt là: $S(x) = \pi {(10 + \sqrt x )^2}$.

Dung tích của chậu là:

$V = \int_0^{16} S (x)dx = \pi \int_0^{16} {{{(10 + \sqrt x )}^2}} dx = \pi \int_0^{16} {(100 + 20\sqrt x + x)} dx = \left. {\pi \left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16} = \frac{{7744}}{3}\pi$

Diện tích mặt cắt là: $S(x) = \left( {9 - {x^2}} \right)\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Thể tích của lều là: $V = \int_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = 18$.