(Trả lời ngắn) 22 bài tập Nguyên hàm (có lời giải)

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right)dx = {x^3} - 2{x^2} + x + C}$. Mà $F\left( 2 \right) = 2$ nên suy ra $C = 0$

Vậy hàm số $F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x$. Suy ra $F\left( 3 \right) = 12$.

Trả lời: $0{,}49$

Ta có: $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)$$= 2{x^3} + {x^2} - 4x - 2$.

Suy ra $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {2{x^3} + {x^2} - 4x - 2} \right){\rm{d}}x}$

$= \int {2{x^3}{\rm{d}}x} + \int {{x^2}{\rm{d}}x} - \int {4x{\rm{d}}x} - \int {2{\rm{d}}x}$

$= \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x + C,\,C \in \mathbb{R}$

Mà $F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{6}$ nên suy ra $C = 0$.

Vậy hàm số $F\left( x \right) = = \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x \Rightarrow F\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{47}}{{96}} \approx 0{,}49$

Trả lời: 11

Ta có: $h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( { - 9{,}81t + 29{,}43} \right){\rm{d}}t} = - \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + C$.

Vì vật được ném lên từ độ cao 300 m nên $h\left( 0 \right) = 300 \Rightarrow C = 300$.

Vậy $h\left( t \right) = - \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + 300$. Khi vật bắt đầu chạm đất ứng với $h\left( t \right) = 0$.

Nên ta có: $- \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + 300 = 0 \Leftrightarrow t \approx 11$ hoặc $t \approx - 5$.

Do $t > 0$ nên $t \approx 11\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Trả lời: 15

Ta có: $T\left( x \right) = \int {T'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( { - 20x + 300} \right){\rm{d}}x} = - 10{x^2} + 300x + C,\,C \in \mathbb{R}$.

Khi người đó tăng giá cho thuê mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng. Nên ứng với $x = 10$ ta có $T\left( {10} \right) = 12\,000$ suy ra

$12000 = - {10.10^2} + 300.10 + C \Rightarrow C = 10000$.

Vậy $T\left( x \right) = - 10{x^2} + 300x + 10000$. Ta có $T\left( x \right)$ là một hàm bậc hai với hệ số $a < 0$ và đồ thị hàm số có đỉnh là $I\left( {15;12250} \right)$.

Vậy doanh thu cao nhất mà người đó có thể thu về là 12 250 triệu đồng và khi đó mỗi gian hàng đã tăng giá cho thuê thêm 15 triệu đồng.

Ta có:

$v\left( t \right) = - 40t + 20$

$\Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 40t + 20} \right)} dt = - 20{t^2} + 20t + C$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$ $\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t$

Khi xe dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 40t + 20 = 0 \Rightarrow t = 0{,}5$.

từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được: $s\left( {0{,}5} \right) = - 20{\left( {0{,}5} \right)^2} + 20\left( {0{,}5} \right) = 5m$

Ta có:

$v\left( t \right) = 3{t^2} + 5$

$\Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = {t^3} + 5t + C$

$\Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$ $\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t$

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 là: $s\left( 4 \right) = {4^3} + 5.4 = 84m$

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 10 là: $s\left( {10} \right) = {10^3} + 5.10 = 1050m$

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: $s\left( {10} \right) - s\left( 4 \right) = 966m$

a) quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của $v\left( t \right)$ nên:

$s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dx = \int {\left( { - 3t + 15} \right)} \,dx = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$

$\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t$

Khi xe dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3t + 15 = 0 \Rightarrow t = 5$.

Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây

b) Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:

$s\left( 5 \right) = - \frac{{{{3.5}^2}}}{2} + 15.5 = 37{,}5\left( m \right)$

Do $50 > 37{,}5$ nên xe ô tô dừng hẳn trước khi va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn không xảy ra.

c) người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh nên xe đi được quãng đường $15m$ trong 1 giây

Tổng quãng đường xe đi được đến khi dừng hẳn là : $15 + 37{,}5 = 52{,}5\left( m \right)$

Do $50 < 52{,}5$ nên xe ô tô va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn xảy ra.

a) quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của $v\left( t \right)$ nên:

$$s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dx = \int {\left( { - 10t + 20} \right)\,} \,dx = - 5{t^2} + 20t + C$$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$

$\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t$

Khi xe dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2$.

Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 2 giây

b) Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:

$s\left( 2 \right) = - {5.2^2} + 20.2 = 20\left( m \right)$

Do $40 > 20$ nên xe ô tô dừng hẳn trước khi va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn không xảy ra.

c) $72\;km/h = 20m/s$

người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh nên xe đi được quãng đường $20m$ trong 1 giây

Tổng quãng đường xe đi được đến khi dừng hẳn là : $20 + 20 = 40\left( m \right)$

Do chướng ngại vật trên đường cách đó $40m$ xe khi bắt đầu đạp phanh nên xe ô tô va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn xảy ra.

a) Quãng đường viên đạn đi được là: $s\left( t \right) = \int {\left( {24{,}5 - 9{,}8t} \right)} \,dx = 24{,}5t - 4{,}9{t^2} + C$

$\Rightarrow s\left( t \right) = 24{,}5t - 4{,}9{t^2} + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$

$\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = 24{,}5t - 4{,}9{t^2}$

sau 2 giây đầu quãng đường viên đạn đi là $s\left( 2 \right) = 24{,}5.2 - {4{,}9.2^2} = 29{,}4m$

b) khi viên đạt đạt độ cao lớn nhất thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 24{,}5 - 9{,}8t = 0 \Leftrightarrow t = 2{,}5\left( s \right)$

quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là: $s\left( {2{,}5} \right) = 2\left( {24{,}5.2{,}5 - {{4{,}9.2{,}5}^2}} \right) = 61{,}25m$

Ta có :

$h'\left( t \right) = 10t + 500$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {10t + 500} \right)} dx = 5{t^2} + 500t + C$

$\Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t$

thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:

$h\left( {2400} \right) = {5.2400^2} + 500.2400 = {3.10^3}\left( {{m^3}} \right)$

Ta có :

$h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right)} dt = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C$$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C$$

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}$$

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là : $h\left( 5 \right) = 150 \Leftrightarrow 125a + \frac{{25}}{2}b = 150$

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :$h\left( {10} \right) = 1100 \Leftrightarrow 1000a + 50b = 1100$

Ta có hệ : $\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 150\\1000a + 50b = 1100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2}$$

thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là $h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400{m^3}$

Ta có :

$h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{t}$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\frac{1}{5}\sqrt[3]{t}} dx = \frac{1}{5}\int {{t^{\frac{1}{3}}}} dx = \frac{1}{5}\frac{{{t^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t}$

mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: $h\left( 6 \right) = \frac{3}{{20}}.6\sqrt[3]{6} \approx 1{,}64m$

Ta có :

$N'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t}$

$\Rightarrow N\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{t}dt = 1000\ln \left| t \right|} + C$

$\Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + C$

Chọn $t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 250000 \Rightarrow C = 250000$

$\Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + 250000$

số lượng vi rút sau 10 ngày là: $N\left( {10} \right) = 1000\ln 10 + 250000 \approx 252302$

Ta có:

$h'(t) = \frac{1}{{90}}\left( {{t^2} - 17t + 60} \right)$

$\Rightarrow h(t) = \frac{1}{{90}}\int {\left( {{t^2} - 17t + 60} \right)dt = } \frac{1}{{90}}\left( {\frac{1}{3}{t^3} - \frac{{17}}{2}{t^2} + 60t} \right) + C$

$\Rightarrow h(t) = \frac{1}{{90}}\left( {\frac{1}{3}{t^3} - \frac{{17}}{2}{t^2} + 60t} \right) + C$

Tại thời điểm $t = 0$, mực nước trong hồ chứa cao $8m$ nên $h(0) = 8 \Rightarrow C = 8$

$\Rightarrow h(t) = \frac{1}{{90}}\left( {\frac{1}{3}{t^3} - \frac{{17}}{2}{t^2} + 60t} \right) + 8{\rm{ }}\left( {0 \le t \le 24} \right)$

Ta có: $h'(t) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 17t + 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\\t = 12\end{array} \right.$

Lập bảng biến thiên:

Mực nước trong hồ cao nhất : $\frac{{104}}{5} = 20{,}8m$

Mực nước trong hồ thấp nhất $8m$

Ta có: $h'(t) = \frac{1}{{\sqrt[4]{t}}}$$\Rightarrow h(t) = \int {\frac{1}{{\sqrt[4]{t}}}} dt = \int {{t^{ - \frac{1}{4}}}} dt = \frac{{{t^{ - \frac{1}{4} + 1}}}}{{^{ - \frac{1}{4} + 1}}} + C = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + C$$\Rightarrow h(t) = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + C$

năm đầu tiên cây cao 1m nên $h(1) = 1{,}5 \Leftrightarrow 1{,}5 = \frac{4}{3}\sqrt[4]{1} + C \Rightarrow C = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow h(t) = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + \frac{1}{6}$

cây cao được 3m nên $h(t) = 3 \Leftrightarrow \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + \frac{1}{6} = 3 \Leftrightarrow \sqrt[4]{{{t^3}}} = \frac{{17}}{8} \Rightarrow t \approx 2{,}73$