(Trả lời ngắn) 16 bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản (có lời giải)

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right) - 7 = 0$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = \frac{7}{2}$.

Đường thẳng $y = \frac{7}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2f\left( x \right) - 7 = 0$ có đúng 4 nghiệm thực phân biệt.

Trả lời: 4

Ta có: $2f\left( x \right) + 5 = 0$ $\Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - 5}}{2}$

Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị $y = \frac{{ - 5}}{2}$ và $y = f\left( x \right)$.

Từ bảng biến thiên ta có: số nghiệm của phương trình là 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = (x - 1)({x^2} - 4x + 4)$ và $Ox$:

$$\begin{array}{l}(x - 1)({x^2} - 4x + 4) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$$

Vì phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = (x - 1)({x^2} - 4x + 4)$ và $Ox$ có 2 nghiệm nên số điểm chung của đồ thị với trục $Ox$ là 2.

Ta có $y' = {x^2} + 2x - 2$ suy ra $y'\left( 1 \right) = 1$. Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( {1;\frac{1}{3}} \right)$ là

$y = 1\left( {x - 1} \right) + \frac{1}{3} = x - \frac{2}{3}$.

Trả lời:$y = x - \frac{2}{3}$

Ta có: số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 2$ bằng số giao điểm giữa đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = 2$.

Dựa vào hình vẽ, hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 2$ có 3 nghiệm.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' = 3{x^2} - 4x + 3$.

Hệ số góc của tiếp tuyến là $k = y'\left( { - 1} \right)$$= 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 3$$= 10$.

$y' = \frac{{ - 2a - b}}{{{{\left( {bx - 2} \right)}^2}}}$.

Dựa vào đồ thị hàm số $\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên tập xác định $\Rightarrow - 2a - b < 0$ $\left( * \right)$.

Đồ thị có hai đường tiệm cận: $x = 2$ và $y = 1$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = 1\\\frac{2}{b} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.$ Thỏa mãn $\left( * \right)$. Vậy $T = 2$.

Xét hàm số ${\rm{Q}}\left( {\rm{t}} \right) = - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100$ với ${\rm{t}} \in \left[ {0;20} \right]$.

Ta có ${\rm{Q}}\left( {\rm{t}} \right) = - \frac{3}{5}{t^2} + 10t$;

${\rm{Q'}}\left( {\rm{t}} \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{5}{t^2} + 10t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{50}}{3}$ hoă̆ct $= 0$.

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0; 20] như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra tại $t = \frac{{50}}{3}$, tức là lưu lượng nước của con sông lớn nhất là $\frac{{15200}}{{27}}$ ${{\rm{m}}^3}/$ phút tại thời điểm $t = \frac{{50}}{3}$ phút.

Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến $550{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}/$ phút, tức là $Q\left( t \right) \ge 550 \Leftrightarrow$ $- \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100 \ge 550 \Leftrightarrow - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 450 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\rm{t}} \le 5 - 5\sqrt 7 }\\{15 \le {\rm{t}} \le 5 + 5\sqrt 7 }\end{array}} \right.$.

Lại có ${\rm{t}} \in \left[ {0;20} \right]$ nên $15 \le t \le 5 + 5\sqrt 7$.

Vậy tại thời điếm $t \in \left[ {15;5 + 5\sqrt 7 } \right]$ phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {{x_0} - x} \right){x^2}$ với ${x_0}$ cố định và $\frac{1}{2}{x_0} \le x \le {x_0}$.

Do $k$ là hằng số nên vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $f\left( x \right) = - {x^3} + {x_0}{x^2}$;

$f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 2{x_0}x$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Vậy vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi

Gọi $x\left( {{\rm{\;m}}} \right)$ là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật cần rào.

Theo đề bài, ta có $0 < x \le 15$.

Diện tích khu đất này là $200\left( {{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}} \right)$ nên chiều dài của khu đất là $\frac{{200}}{x}\left( {{\rm{\;m}}} \right)$.

Tổng chiều dài lưới thép rào quanh khu đất là $L\left( x \right) = 2x + \frac{{200}}{x}\left( {{\rm{\;m}}} \right)$.

Xét hàm số: $L\left( x \right) = 2x + \frac{{200}}{x}$, với $x \in \left( {0;15} \right]$.

Ta có: $L'\left( x \right) = 2 - \frac{{200}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - 200}}{{{x^2}}}$;

$L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10({\rm{\;do\;}}x > 0){\rm{.}}$

Ta có:

$L\left( {10} \right) = 40$

$L\left( {15} \right) = \frac{{130}}{3}.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là 40m khi chiều rộng khu đất này là x = 10(m) (và chiều dài là $\frac{200}{10}=20(m)$ .

Ta có: $P'(t)=\frac{0{,}75α{a}^{-0.75t}}{{(b+{e}^{-0.75t})}^{2'}},t\ge 0$

Theo đề bài, ta có: P(0) = 20 và P'(0) = 12. Do đó, ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình này, ta được a = 25 và $b=\frac{1}{4}$ .

Khi đó, $P'(t)=\frac{18{,}75{e}^{-0.75t}}{{(\frac{1}{4}+{e}^{-0.75t})}^{2}}>0,\forall t\ge 0$, tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Tuy nhiên, do nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.

Đổi 1 lít = 1000 cm$^{3}$ .

Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ.

Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S=2{\mathrm{πr}}^{2}+2\mathrm{πrh}$ .

Do thể tích của hình trụ là 1000 cm$^{3}$nên ta có: 1000 = V = ${\mathrm{πr}}^{2}h$, hay $h=\frac{1000}{{\mathrm{πr}}^{2}}$ .

Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là: $S=2{\mathrm{πr}}^{2}+\frac{2000}{r},r>0$

Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:

Bảng biến thiên:

Khi đó: $h=\frac{1000}{{\mathrm{πr}}^{2}}=\frac{1000}{{π}^{3}\sqrt{\frac{250000}{{π}^{2}}}}=\frac{100}{\sqrt[3]{250π}}$

Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy $r=\sqrt[3]{\frac{500}{π}}\approx 5.42(cm)$ và chiều cao $h=\frac{100}{\sqrt[3]{250π}}\approx 10.84(cm)$ .

Xét hàm số ${\rm{y}} = {{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2$. Tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = {\rm{R}}$.

Ta có ${{\rm{y}}^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}};{{\rm{y}}^{\prime \prime }} = 6{\rm{x}} - 6$; ${{\rm{y}}^{\prime \prime }} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 1.{\rm{ }}$

Với ${\rm{x}} = 1$, ta có ${\rm{y}}(1) = 0$.

Vậy ${\rm{I}}(1;0)$.

Giả sử hàm số bậc ba cần tìm có dạng ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + {\rm{b}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{cx}} + {\rm{d}}({\rm{a}} \ne 0)$.

Quan sát Hình vẽ , ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điềm $(0;5),(1;1)$ và $(3;5)$.

Với ${\rm{x}} = 0$ thì ${\rm{y}} = 5$, thay vào hàm số ta suy ra ${\rm{d}} = 5$.

Khi đó hàm số trở thành ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + {\rm{b}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{cx}} + 5$.

Với ${\rm{x}} = 1$ thì ${\rm{y}} = 1$, thay vào hàm số ${\rm{ta}}$ được ${\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} + 5 = 1$ (1).

Ta thấy đồ thị hàm số có hai điềm cực trị là $(1;1)$ và $(3;5)$, tức là phương trình ${{\rm{y}}^\prime } = 0$ có hai nghiệm là ${\rm{x}} = 1$ và ${\rm{x}} = 3$.

Ta có ${{\rm{y}}^\prime } = 3{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{bx}} + {\rm{c}}$.

Với ${\rm{x}} = 1$ thì ${{\rm{y}}^\prime } = 0$ nên ta có $3{\rm{a}} + 2\;{\rm{b}} + {\rm{c}} = 0$ (2).

Với ${\rm{x}} = 3$ thì ${{\rm{y}}^\prime } = 0$ nên ta có $27{\rm{a}} + 6\;{\rm{b}} + {\rm{c}} = 0$ (3).

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra ${\rm{a}} = - 1;{\rm{b}} = 6;{\rm{c}} = - 9$.

Vậy hàm số cần tìm là ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}) = - {{\rm{x}}^3} + 6{{\rm{x}}^2} - 9{\rm{x}} + 5$.

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là v = h’(t)=24,5 – 9,8t (m/s).

Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là v(2) =24,5–9,8.2=4,9 (m/s).

b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = –4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại $t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{24{,}5}}{{2.4{,}9}} = 2{,}5$ (giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m).

c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là h=2+24,5t – 4,9t2 =0, hay t $\approx$ 5,08 (giây).

Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08)=24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s).

Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).

a) Do đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm x = 20; x = 50, x = 100 nên phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm 20, 50, 100, từ đó ta có: y = a(x – 20)(x – 50)(x – 100).

Mặt khác, tại điểm x = 0 ta có y = 50, suy ra: 50 = a(0 – 20)(0 – 50 )(0 – 100) hay a = $- \frac{1}{{2000}}$.

Suy ra: $y = - \frac{1}{{2000}}\left( {x - 20} \right)\left( {x - 50} \right)\left( {x - 100} \right) = - \frac{1}{{2000}}{x^3} + \frac{{17}}{{200}}{x^2} - 4x + 50$.

b) Các điểm cần thìm chính là các điểm cực trị của hàm số: $y = f(x) = - \frac{1}{{2000}}{x^3} + \frac{{17}}{{200}}{x^2} - 4x + 50$

$$y' = - \frac{3}{{2000}}{x^2} + 1\frac{{17}}{{200}}x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{100}}{3};x = 80$$

Ta có các điểm cực trị của hàm số f(x) là $A\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{200}}{{27}}} \right);B\left( {80;18} \right)$