Giải VTH Toán 9 KNTT Luyện tập chung trang 78 có đáp án

Ta có $\widehat A = \frac{{\widehat {BOC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$ (góc nội tiếp $\widehat A$ và góc ở tâm $\widehat {BOC}$ cùng chắn cung ).

Tam giác AOC cân tại O nên $\widehat {AOC} = 180^\circ - \widehat {OAC} - \widehat {OCA} = 180^\circ - 2\widehat {OCA} = 140^\circ .$

Suy ra $\widehat B = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = \frac{{140^\circ }}{2} = 70^\circ .$

Do tổng các góc trong ∆ABC bằng 180° nên $\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 50^\circ .$

Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác đều ABC. Ta có $R = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.4 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$ (cm), $r = \frac{{\sqrt 3 }}{6}.4 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$ (cm).

a) Ta có $R = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.3 = \sqrt 3$ (cm).

b) Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là: $r = \frac{{\sqrt 3 }}{6}.3 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ (cm).

Chiều cao từ đỉnh O xuống cạnh BC của ∆OBC bằng bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Do vậy

${S_{OBC}} = \frac{1}{2}r.BC = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.3 = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$ (cm$^{2}$).

Ta có $\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2.60^\circ = 120^\circ .$ Diện tích hình quạt chắn cung nhỏ BC là:

$S' = \frac{{120}}{{360}}\pi .{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \pi$ (cm$^{2}$).

Vậy diện tích hình viên phân cần tính là:

$S = S' - {S_{OBC}} = \pi - \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \approx 1{,}84$ (cm$^{2}$).

Giả sử khu vui chơi có dạng tam giác đều ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có

$R = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.60 = 20\sqrt 3$ (cm).

Do R < 50 nên lắp đặt bộ phát sóng wifi vào vị trí O thì cả hình tròn tâm O bán kính R đều nằm trong vùng phủ sóng. Vì mọi điểm trong khu vui chơi đều không nằm ngoài diện tích của đường tròn (O; R) nên đều có thể bắt được sóng.

a) Phần đất cần tính diện tích có dạng hình một tam giác ABC, với AB = 900 m, AC = 1 200 m, BC = 1 500 m.

Ta thấy BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$.

Do vậy, theo định lí Pythagore đảo thì ABC là tam giác vuông tại A.

Chu vi và diện tích của tam giác ABC lần lượt là:

$\mathcal{C} = AB + AC + BC = 900 + 1\,\,200 + 1\,\,500 = 3\,\,600$ (m); ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 540\,\,000$ (m$^{2}$).

b) Để khách sạn cách đều cả ba con đường thì cần phải được xây vào đúng vị trí tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Khi đó cho chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC, CA, AB của các tam giác IBC, ICA, IAB đều bằng đường kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Do đó

${S_{ABC}} = {S_{IBC}} + {S_{ICA}} + {S_{IAB}} = \frac{1}{2}r.\left( {AB + AC + BC} \right) = \frac{{r.\mathcal{C}}}{2}.$

Suy ra $r = \frac{{2 \cdot {S_{ABC}}}}{\mathcal{C}} = \frac{{2 \cdot 540\,\,000}}{{3600}} = 300$ (m).

Vậy khách sạn sẽ cách mỗi con đường là 300 m.

Vì AD là đường kính của (O) nên $\widehat {ABD}$ và $\widehat {ACD}$ là các góc nội tiếp của (O) chắn nửa đường tròn.

Do đó $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ ,$ hay DB ⊥ AB, DC ⊥ AC. (1)

Mặt khác, vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB. (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra BH // DC; CH // DB.

Do đó BHCD là hình bình hành.

Vì vậy BC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng.

Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền của tam giác nên: BC = 2.5 = 10 (cm).

Theo định lí Pythagore, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$ = 10$^{2}$ = 100 (cm$^{2}$).

Vì diện tích tam giác ABC bằng 24 cm$^{2}$ nên:

$\frac{1}{2}AB.AC = 24$ (cm$^{2}$).

Từ đây suy ra (AB + AC)$^{2}$ = AB$^{2}$ + 2.AB.AC + AC$^{2}$ = 100 + 2.48 = 196.

Hay AB + AC = 14 (cm).

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó r là chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC, CA, AB của các tam giác BIC, CIA, AIB. Do đó

${S_{ABC}} = {S_{BIC}} + {S_{CIA}} + {S_{AIB}} = \frac{1}{2}BC.r + \frac{1}{2}CA.r + \frac{1}{2}AB.r = \frac{1}{2}\left( {BC + CA + AB} \right).r.$

Suy ra $24 = \frac{1}{2}\left( {10 + 14} \right).r,$ hay r = 2 cm.