Giải VTH Toán 9 KNTT Luyện tập chung có đáp án

a) Điều kiện để (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b là R > 3 cm.

b) Khi (O; R) tiếp xúc với a, ta có R = 2 cm, mà 3 cm là khoảng cách từ O đến đường thẳng b nên đường thẳng b cắt (O; R).

a) (T1) và (T2) là hai đường tròn đồng tâm với tâm O là điểm trục của hai kim đồng hồ.

b) (T2) là đường tròn tạo bởi đầu kim ngắn nên R$_{2}$ < R$_{1}$. (1)

Gọi O*'* là tâm và R$_{3}$ là bán kính của đường tròn (T3). Theo đề bài, ta có:

${R_3} = \frac{1}{2}{R_2}$ và $OO' = \frac{1}{2}{R_1}.$ (2)

• Xét hai đường tròn (T1) và (T3), tức là hai đường tròn có bán kính R$_{1}$ và R$_{3}$.

Từ (1) và (2), ta có:

${R_1} - {R_3} = {R_1} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right) + \frac{1}{2}{R_1} > \frac{1}{2}{R_1},$ suy ra R$_{1}$ – R$_{3}$ > OO*'*.

Do đó (T1) đựng (T3).

• Xét hai đường tròn (T2) và (T3), tức là hai đường tròn có bán kính R$_{2}$ và R$_{3}$.

Từ (2) ta có:

${R_2} - {R_3} = {R_2} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_2} > 0.$ (3)

Mặt khác, ${R_2} + {R_3} = {R_2} + \frac{1}{2}{R_2} = \frac{3}{2}{R_2}.$ Do đó:

− Nếu 3R$_{2}$ > R$_{1}$ thì ${R_2} + {R_3} = \frac{3}{2}{R_2} > \frac{1}{2}{R_1} = OO',$ tức là ${R_2} + {R_3} > OO'.$

Kết hợp với (3) ta thấy (T2) và (T3) cắt nhau.

− Nếu 3R$_{2}$ = R$_{1}$ thì ${R_2} + {R_3} = \frac{3}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_1} = OO',$ tức là ${R_2} + {R_3} = OO'$ và ta có (T2), (T3) tiếp xúc nhau.

− Nếu 3R$_{2}$ < R$_{1}$ thì ${R_2} + {R_3} = \frac{3}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1} = OO',$ tức là ${R_2} + {R_3} < OO'$ và ta có (T2) và (T3) không giao nhau.

(H.5.40)

a) Ta có MN = MP + NP. Mặt khác, MA và MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MP. Tương tự, ta cũng có NB = NP.

Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được:

MA + NB = MP + NP (điều phải chứng minh).

b) Do OQ ⊥ AB (giả thiết), MA ⊥ AB và MB ⊥ AB (MA, MB là tiếp tuyến của (O) tại A và B) nên OQ // MA // MB. Nối A với N cắt OQ tại C.

Trong tam giác ABN, đường thẳng OQ đi qua trung điểm của cạnh AB và song song với BN nên C là trung điểm của trung điểm của AN.

Trong tam giác AMN, đường thẳng OQ đi qua trung điểm của AN và song song với AM nên Q là trung điểm của MN.

c) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, OM là tia phân giác của góc $\widehat {AOP}$ và ON là tia phân giác của góc $\widehat {BOP}.$ Khi đó:

$\widehat {MON} = \widehat {MOP} + \widehat {NOP} = \frac{1}{2}\widehat {AOP} + \frac{1}{2}\widehat {BOP}$

$= \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOP} + \widehat {BOP}} \right) = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ .$

Do đó tam giác MON là tam giác vuông tại O với OQ là đường trung tuyến.

Từ đó ta có OQ = MQ = NQ.

Do đó, đường tròn đường kính MN, cũng là đường tròn tâm Q đi qua O. Do đó AB cắt nhau và vuông góc với QO tại O.

Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN.

Nói cách khác, AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.

(H.5.41)

a) Hai đường tròn (O) và (O*') tiếp xúc ngoài với nhau nên A ∈ (O'*).

Vì MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên A ∈ (O), từ đó suy ra MA tiếp xúc với (O*') tại A. Do đó MA là tiếp tuyến của (O'*) tại A.

b) MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) tại M nên MA = MB.

Tương tự đối với đường tròn (O*'*), ta cũng có MA = MC.

Do đó MB = MC = MA.

Vậy M là trung điểm của BC.

Tam giác ABC có đường trung tuyến MA bằng một nửa cạnh huyền BC nên tam giác ABC là tam giác vuông.