Giải VTH Toán 9 KNTT Luyện tập chung có đáp án

Do tính đối xứng tâm của (O) nên A*'* và B*'* cũng thuộc (O).

Do đó OA = OB = OA*'* = OB*', suy ra đường trung trực của A'B'* đi qua O.

Vậy đường trung trực của A*'B'* là trục đối xứng của (O).

(H.5.20)

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Do $\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = 90^\circ$ nên trong các tam giác BHC và BKC có đường trung tuyến bằng $\frac{1}{2}$ cạnh huyền.

Ta có: $OH = OK = OB = OC = \frac{{BC}}{2}.$

Do đó, đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K.

b) Theo câu a, HK là dây cung của đường tròn đường kính BC. Do đó KH < BC.

Gọi R (m) là bán kính của guồng nước.

Trên hình vẽ, ta thấy OH = R – HC = R – 0,5 (m).

Do OH < AB nên $HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 2$ m.

Trong tam giác vuông AOH, theo định lí Pythagore ta có:

$O{A^2} = O{H^2} + H{A^2} = {\left( {R - 0{,}5} \right)^2} + {2^2}.$

Tức là $O{A^2} = {R^2} - R + 0{,}25 + 4 = {R^2} - R + 4{,}25.$

Từ đó suy ra ${R^2} = {R^2} - R + 4{,}25,$ hay 4,25 – R = 0. Do đó, R = 4,25 m.

Vậy bán kính của guồng nước là 4,25 m.

a) Vẽ dây AB cách O một khoảng 2,5 cm:

− Lấy điểm I tùy ý sao cho OI = 2,5 cm;

− Vẽ đường thẳng vuông góc với OI tại I, cắt (O) tại A và B.

Ta có dây AB cần vẽ:

b) (H.5.22) Trong tam giác vuông AOI, ta có AI$^{2}$ = OA$^{2}$ – OI$^{2}$ = 5$^{2}$ – 2,5$^{2}$ = 18,75.

Vậy $AB = 2AI = 2\sqrt {18{,}75} = 5\sqrt 3 \approx 8{,}66$ cm.

c) (H.5.22)

• Kéo dài OI cắt (O) tại K.

Dễ thấy tứ giác AKBO có hai đường chéo AB và OK vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (do OK = OA = 5 cm và $OI = IK = \frac{{OK}}{2}).$

Do đó AKBO là hình thoi.

Từ đó OA = OK = KA = 5 cm; OAK là tam giác đều, suy ra $\widehat {AOK} = 60^\circ$ và $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOK} = 2.60^\circ = 120^\circ .$

Vậy

• Độ dài cung nhỏ AB bằng $\frac{{120}}{{180}}\pi .5 = \frac{{10\pi }}{3}$ (cm).

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung AB là $\frac{{\frac{{10\pi }}{3}.5}}{2} = \frac{{25\pi }}{3}$ (cm$^{2}$).

Chu vi của chiếc líp là 2.π.4 = 8π (cm).

Khi người đi xe đạp một vòng thì giò đĩa quay 2π . 15 = 30π (cm).

Mỗi điểm trên xích di chuyển một độ dài đúng bằng chu vi của giò đĩa, tức là 8π cm.

Khi đó, chiếc líp quay được $\frac{{30\pi }}{{8\pi }} = \frac{{15}}{4}$ vòng, nghĩa là bánh xe quay được $\frac{{15}}{4}$ vòng.

Chu vi của bánh xe (đường kính 65 cm = 0,65 m) là 0,65π (m).

Do đó quãng đường xe di chuyển được khi bánh xe quay $\frac{{15}}{4}$ vòng là:

$0{,}65\pi .\frac{{15}}{4} = \frac{{39\pi }}{{16}} \approx 7{,}7$ (m)

Vậy khi người đi xe đạp một vòng thì xe di chuyển được quãng đường khoảng 7,7 m.

(H.5.25)

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Tam giác DBC có đường trung tuyến OD bằng OB và OC (bằng $\frac{1}{2}BC$) nên DBC là tam giác vuông tại D.

Do đó, CD là đường cao của tam giác đều ABC, suy ra D là trung điểm của AB.

Tương tự, E là trung điểm của AC.

Từ đó suy ra bốn tam giác ADE, OEC, OBD, ODE là những tam giác đều, với độ dài cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác đều ABC, tức là bằng $\frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3$ cm.

Ba cung nhỏ và lần lượt bị chắn bởi các góc ở tâm $\widehat {BOD},$ $\widehat {DOE}$ và $\widehat {EOC}$ mà các góc này đều bằng 60° (các góc của tam giác đều) nên các cung đang xét đều bằng nhau và cùng có số đo bằng 60°.

b) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung BD là

${S_q} = \frac{{60}}{{360}}\pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{\pi }{2}$ (cm$^{2}$).

Diện tích của tam giác BOD là

${S_{BOD}} = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.\sin 60^\circ = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$ (cm$^{2}$).

Diện tích của hình viên phân là

$S = {S_q} - {S_{BOD}} = \frac{\pi }{2} - \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \approx 0{,}27$ (cm$^{2}$).

(H.5.26)

Diện tích hình quạt tròn AOC là

${S_{qAOC}} = \frac{{60}}{{360}}\pi .{\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 2\pi$ (cm$^{2}$).

Xét tam giác AOC có $\widehat {AOC} = 60^\circ$ và OA = OC (= R) nên tam giác AOC đều có độ dài cạnh là $R = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3$ cm.

Gọi CH là đường cao của tam giác AOC. Khi đó, $CH = CO\,.\,\sin 60^\circ = 2\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\,\,(cm).$

Diện tích của tam giác AOC là

${S_{\Delta AOC}} = \frac{1}{2}.3.2\sqrt 3 = 3\sqrt 3$ (cm$^{2}$).

Diện tích hình viên phân cần tính là

$S = {S_{qAOC}} - {S_{\Delta AOC}} = 2\pi - 3\sqrt 3 \approx 1{,}09$ (cm$^{2}$).