Giải VTH Toán 9 KNTT Luyện tập chung có đáp án

Giả sử ABCD là hình ảnh một trang sách (H.4.23) với AB = 17 cm, BC = 24 cm, khi đó $\widehat {BAC} = \alpha .$

Trong tam giác vuông ABC, ta có

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 17$^{2}$ + 24$^{2}$ = 865

nên $AC = \sqrt {865} \approx 29{,}41$ (cm).

Từ đó

• $\sin \alpha = \frac{{CD}}{{AC}} = \frac{{17}}{{29{,}41}} \approx 0{,}58;$

• $\cos \alpha = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{24}}{{29{,}41}} \approx 0{,}82;$

Suy ra $\alpha \approx 35^\circ .$

(H.4.24)

Tam giác ACH vuông tại H, HC = 6 cm, $\widehat {HAC} = 60^\circ .$

Trong tam giác vuông AHC, ta có

$\sin \widehat {HAC} = \frac{{CH}}{{AC}}$ nên $AC = \frac{{CH}}{{\sin \widehat {HAC}}} = \frac{6}{{\sin 60^\circ }} = \frac{6}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 4\sqrt 3 \approx 7$ (cm),

$AH = CH.\cot A = 6.\cot 60^\circ = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 \approx 3$ (cm),

$\widehat {ACB}$ là góc phụ với $\widehat {HAC}$ nên $\widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat {HAC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .$

Trong tam giác vuông AHB, ta có

AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + BH$^{2}$ = 3$^{2}$ + 3$^{2}$ = 18 nên $AB = \sqrt {18} \approx 4$ (cm),

$\tan B = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{3}{3}$ nên $\widehat B \approx 45^\circ .$

Trong tam giác ABC, ta có

$\widehat {BAC} = 180^\circ - \widehat C - \widehat B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \approx 105^\circ .$

(H.4.25b)

Kí hiệu các điểm như trên Hình 4.25b.

Trong tam giác vuông ABO, ta có

(H.4.27)

Ta đặt tên các điểm như trong Hình 4.27.

Ở hình a): Trong tam giác ABC vuông tại A, theo định lí về hai cạnh góc vuông, ta có

$AB = AC.\tan C = 3.\tan 40^\circ \approx 2{,}5.$

Ở hình b): Ta có QM = NP = 7.

Trong tam giác MPQ vuông tại Q, ta có

$\sin \widehat {MPQ} = \frac{{MQ}}{{MP}} = \frac{7}{{10}}$ nên $\widehat {MPQ} \approx 44^\circ .$

Ở hình c): Trong tam giác IJK vuông tại I, ta có

$\tan \widehat {IJK} = \frac{{IK}}{{IJ}} = \frac{7}{5}$ nên $\widehat {IJK} \approx 54^\circ .$

Ở hình d): Trong tam giác OST vuông tại T, ta có

$\sin 35^\circ = \sin \widehat {SOT} = \frac{{ST}}{{SO}}$ nên $ST = \sin 35^\circ .SO = \sin 35^\circ .3 \approx 1{,}7$

Trong tam giác OUV vuông tại V, ta có

OU = OS + SU = 3 + 2 = 5.

$\sin 35^\circ = \sin \widehat {UOV} = \frac{{UV}}{{OU}}$ nên $UV = OU.\sin 35^\circ = 5.\sin 35^\circ \approx 2{,}8.$

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC thì C nằm giữa B và H.

Trong tam giác ACH, ta có

$\widehat {ACH} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ ,$

$HC = AC.\cos \widehat {ACH} = 90.\cos 60^\circ = 90.\frac{1}{2} = 45$ (m),

$AH = AC.\sin \widehat {ACH} = 90.\sin 60^\circ = 90.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 45\sqrt 3$ (m).

Từ đó BH = BC + HC = 150 + 45 = 195 (m),

$A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = {\left( {45\sqrt 3 } \right)^2} + {195^2} = 44100$ suy ra $AB = \sqrt {44100} = 210$ (m).

Vậy AB = 210 m.

(H.4.29b)

Kẻ các đường cao AH, BK của hình thang ABCD thì D, H, K, C nằm theo thứ tự đó trên đoạn DC.

Trong tam giác vuông AHD, ta có

$DH = \frac{{AH}}{{\tan D}} = \frac{{3{,}5}}{{1{,}25}} = 2{,}8$ (m).

Trong tam giác vuông BKC, ta có

$KC = \frac{{BK}}{{\tan C}} = \frac{{3{,}5}}{{1{,}5}} = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$ (m).

Do đó DC = DH + HK + KC = 2,8 + 3 + 2,33 = 8,13 (m) ≈ 81 (dm).

Trong tam giác AHD, ta có

$A{D^2} = A{H^2} + D{H^2} = {3{,}5^2} + {2{,}8^2} = 20{,}09,$ suy ra $AD = \sqrt {20{,}09} \approx 4{,}5$ (m) = 45 (dm).

Trong tam giác vuông BKC, ta có

$B{C^2} = B{K^2} + K{C^2} = {3{,}5^2} + {2{,}33^2} = 17{,}6789,$ suy ra $BC = \sqrt {17{,}6789} \approx 4{,}2$ (m) = 42 (dm).

Độ sâu cần tính là đoạn BH.

Trong tam giác ABH, ta có

$h = BH = AH.\sin A = 200.\sin 21^\circ \approx 72$ (m).

b) Đổi 9 km = 9 000 m.

Để lặn được 9 000 m, tàu cần 60 phút.

Để lặn sâu 1 m, tài cần $\frac{{60}}{{9000}}$ phút. Do đó, để lặn sâu 200 m tàu cần

$200 \cdot \frac{{60}}{{9\,\,000}} = \frac{{12\,\,000}}{{9\,\,000}} = \frac{4}{3}$ (phút) = 80 (giây).

a) (H.4.31)

Ta có:

$\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ ,$

$AC = BC.\cos C = 20.\cos 40^\circ \approx 15{,}3,$

$AB = BC.\sin C = 20.\sin 40^\circ \approx 12{,}8.$

b) (H.4.32)

Ta có

$\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ ,$

$AB = AC.\cot B = 82.\cot 55^\circ \approx 57{,}4,$

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {57{,}4^2} + {82^2} = 10018{,}76,$ suy ra $BC = \sqrt {10\,\,018{,}76} \approx 100{,}1.$

c) (H.4.33)

Ta có

$A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {32^2} - {20^2} = 624,$ suy ra $AB = \sqrt {624} \approx 25.$

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{20}}{{32}} = 0{,}625,$ suy ra $\widehat B \approx 39^\circ .$

Từ đó suy ra $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ .$

(H.4.34)

Tam giác ABC vuông ở A nên

$\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ .$

Vì BD là tia phân giác góc B nên

$\widehat {ABD} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{48^\circ }}{2} = 24^\circ .$

Tam giác ABD vuông ở A, ta có

$\cos \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{BD}}$ nên $BD = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \frac{{22}}{{\cos 24^\circ }} \approx 24{,}1$

$\tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}}$ nên $AD = AB.\tan \widehat {ABD} = 22.\tan 24^\circ \approx 9{,}8.$

Ta có $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}$ nên $AC = \frac{{AB}}{{\tan C}} = \frac{{22}}{{\tan 42^\circ }} \approx 24{,}4.$

Từ đó DC = AC – AD = 24,4 – 9,8 = 14,6.