Giải VTH Toán 9 KNTT Luyện tập chung

a) Nghiệm của phương trình (1) là (−1; 1), (4; 3).

b) Nghiệm của phương trình (2) là (1; −1), (4; 3), (−2; −5).

c) Nghiệm của hệ gồm phương trình (1) và phương trình (2) là (4; 3).

a) Xét phương trình −3x + 2y = 5; (1)

Ta viết (1) dưới dạng $y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}.$

Khi đó, phương trình (1) có nghiệm là $(x;\frac{3}{2}x+\frac{5}{2})$ với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng d$_{1}$: −3x + 2y = 5;

Ta có: $A(0;\frac{5}{2})$ và $B(-\frac{5}{3};0)$ là hai điểm nằm trên đường thẳng d$_{1}$ nên ta có hình vẽ biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) như sau:

b) Xét phương trình $\frac{1}{2}x-y=2.$ (2)

Ta viết (2) dưới dạng $y=\frac{1}{2}x-2.$

Khi đó, phương trình (2) có nghiệm là $(x;\frac{1}{2}x-2)$ với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng ${d}_{2}:\frac{1}{2}x-y=2.$

Ta có: A(0; −2) và B(4; 0) là hai điểm nằm trên đường thẳng d$_{2}$ nên ta có hình vẽ biểu diễn tập nghiệm của phương trình (2) như sau:

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = 2x – 1. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 2x – 2(2x – 1) = −1 hay −2x = −3, suy ra $x=\frac{3}{2}.$

Từ đó $y=2.\frac{3}{2}-1=2$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(\frac{3}{2};2).$

b) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = x – 1. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 1,2x – 1,2(x – 1) = 1,2 hay 0x = 0.

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn hệ thức trên.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức y = x – 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; x – 1) với x ∈ ℝ tùy ý.

a) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 5, ta được hệ $\{\begin{matrix}15x+21y=-3 \\ 15x+10y=-25\end{matrix}.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 11y = 22 hay y = 2.

Thế y = 2 vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta có 3x + 2.2 = −5, hay 3x = −9, suy ra x = −3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (−3; 2).

b) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2,5 ta được hệ $\{\begin{matrix}2x-3y=11 \\ -2x+3y=2{,}5\end{matrix}.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0y = 13,5.

Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức trên nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 10, ta được hệ $\{\begin{matrix}4x-3y=6 \\ 4x+2y=8\end{matrix}.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được −5y = −2 hay $y=\frac{2}{5}.$

Thế $y=\frac{2}{5}$ vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có $4x-3.\frac{2}{5}=6$ hay $4x=\frac{36}{5},$ suy ra $x=\frac{9}{5}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(\frac{9}{5};\frac{2}{5}).$

Vì số nguyên tử của Al và O ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}4=2y \\ 2x=3y\end{matrix}$ hay $\{\begin{matrix}y=2 \\ 2x=3y\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 3, y = 2.

Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(3; −2) nên a.3 + b = −2 hay 3a + b = −2.

Tương tự, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm B(−1; 2) nên a.(−1) + b = 2 hay −a + b = 2.

Từ đó, ta có hệ phương trình với hai ẩn là a và b: $\{\begin{matrix}3a+b=-2 \\ -a+b=2\end{matrix}.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 4a = −4 hay a = −1.

Thay a = −1 vào phương trình thứ hai, ta có −(−1) + b = 2 hay 1 + b = 2, suy ra b = 1.

Vậy với a = −1; b = 1 thì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A, B đã cho.

Vì (1; −2) là nghiệm của hệ đã cho nên thay x = 1; y = −2 vào hệ đó ta được

$\{\begin{matrix}a-2b=1 \\ a-2(2-b)=3\end{matrix}$ hay $\{\begin{matrix}a-2b=1 \\ a-4+2b=3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\{\begin{matrix}a-2b=1 \\ a+2b=7\end{matrix} \\ \{\begin{matrix}a-2b+a+2b=1+7 \\ a+2b=7\end{matrix} \\ \{\begin{matrix}2a=8 \\ a+2b=7\end{matrix} \\ \{\begin{matrix}a=4 \\ 4+2b=7\end{matrix} \\ \{\begin{matrix}a=4 \\ 2b=3\end{matrix} \\ \{\begin{matrix}a=4 \\ b=\frac{3}{2}\end{matrix} \\ \end{matrix}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(4;\frac{3}{2}).$