Giải VTH Toán 9 KNTT Bài tập cuối chương 5 có đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có:

• $OA = \sqrt {15} < \sqrt {16} = 4 = R$ nên điểm A nằm trong (O).

• OB = 4 = R nên điểm B nằm trên (O).

Vậy điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).

Đáp án đúng là: D

Ta có:

• $OA = \sqrt {15} < \sqrt {16} = 4 = R$ nên điểm A nằm trong (O).

• OB = 4 = R nên điểm B nằm trên (O).

Vậy điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).

Đáp án đúng là: D

Ta có: mà $\widehat {DOC} = \widehat {DOB} - \widehat {BOC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ suy ra

$$= 360^\circ - 80^\circ - 100^\circ - 40^\circ = 140^\circ .$$

Vậy và

Đáp án đúng là: B

Hai đường tròn (A) và (B) cắt nhau khi R$_{1}$ – R$_{2}$ < AB < R$_{1}$ + R$_{2}$.

Đáp án đúng là: A

Đường tròn (O) cắt a$_{1}$ suy ra d$_{1}$ < R.

Đường tròn (O) tiếp xúc a$_{2}$ suy ra d$_{2}$ = R.

Vậy d$_{1}$ < R và d$_{2}$ = R.

Gọi $R = \frac{{BC}}{2}$ là bán kính của đường tròn.

a) Nếu A ∈ (O; R) thì OA = R.

Khi đó, tam giác ABC có đường trung tuyến OA bằng một nửa cạnh huyền nên là tam giác vuông với cạnh huyền BC (góc A vuông).

Ngược lại, nếu tam giác ABC vuông tại A thì đường trung tuyến OA bằng một nửa cạnh huyền, nghĩa là $AO = \frac{{BC}}{2} = R.$

Do đó điểm A nằm trên (O).

b) (H.5.45) Vì $BO = \frac{{BC}}{2} = R$ nên khi A là một trong hai giao điểm của (B; BO) với (O) thì tam giác ABO là tam giác đều vì có BO = OA = AB = R.

Do đó $\widehat {ABO} = \widehat {ABC} = 60^\circ .$

Theo câu a, tam giác ABC là tam giác vuông và có $\widehat {ABC} = 60^\circ$ nên $\widehat {BCA} = 30^\circ .$

c) Từ câu b, ta có $\widehat {AOB} = 60^\circ ,$ suy ra

Mặt khác, $R = \frac{{BC}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ cm nên độ dài cung AC là $l = \frac{{120}}{{180}}\pi .3 = 2\pi$ (cm).

Hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA và OC ứng với cung AC nên diện tích của nó bằng $S = \frac{{120}}{{360}}\pi {.3^2} = 3\pi$ (cm$^{2}$).

a) Cách 1. Gọi bán kính của đường tròn là R.

Do C và D là điểm đối xứng với A và B qua tâm O nên

OC = OA = R = 4 cm và OD = OB = R = 4 cm.

Do đó hai điểm C và D nằm trên đường tròn (O).

Cách 2. Do đường tròn là hình có tâm đối xứng là O nên khi A ∈ (O) và B ∈ (O) thì hai điểm đối xứng với A và B qua O cũng nằm trên (O).

b) (H.5.46) Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD, hay $\widehat {AOB} = 90^\circ .$

Suy ra số đo của cung nhỏ AB là 90°.

Số đo của cung lớn AB (cũng là cung ACB) là:

Độ dài của cung lớn AB là $l = \frac{{270}}{{180}}\pi .4 = 6\pi$ (cm).

Diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA, OB là

$S = \frac{{90}}{{360}}\pi {.4^2} = 4\pi$ (cm$^{2}$).

(H.5.47)

Gọi R$_{A}$, R$_{B}$ và R$_{C}$ lần lượt là bán kính các đường tròn (A), (B) và (C).

Theo đề bài, ta có R$_{A}$ = 1,5 cm; R$_{B}$ = 3 cm; R$_{C}$ = 2 cm; AB = 2 cm; BC = 1 cm và CA = AB + BC = 2 + 1 = 3 cm. Ta có:

• R$_{B}$ – R$_{A}$ = 3 – 1,5 = 1,5 cm < AB < R$_{B}$ + R$_{A}$ = 3 + 1,5 = 4,5 cm. Do đó (A) và (B) cắt nhau.

• R$_{C}$ – R$_{A}$ = 2 – 1,5 = 0,5 cm < CA = 3 cm < R$_{C}$ + R$_{A}$ = 2 + 1,5 = 3,5 cm. Do đó (A) và (C) cắt nhau.

• BC = 1 cm = R$_{B}$ – R$_{C}$ = 3 – 2. Nên (B) và (C) tiếp xúc với nhau.

Do đó không có cặp đường tròn nào không giao nhau.

(H.5.48)

a) Tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC, mà A ∈ (C; CA) do đó BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Hai tam giác ABC và A*'*BC có:

BC là cạnh chung;

AB = A*'*B (cùng bằng bán kính đường tròn (B; BA));

AC = A*'*C (cùng bằng bán kính đường tròn (C; CA)).

Do đó ∆ABC = ∆A*'BC (c.c.c), suy ra $\widehat {BAC} = \widehat {BA'C} = 90^\circ ,$ hay BA'* ⊥ A*'*C.

Mặt khác, A*'* ∈ (C; CA) nên BA*'* là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Vậy BA và BA*'* là hai tiếp tuyến của đường tròn (C; CA) cắt nhau tại C.

b) Ta có CA ⊥ AB và A ∈ (B; BA) nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Tương tự, CA*'* là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Vậy CA và CA*'* là hai tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) cắt nhau tại B.

(H.5.50)

a) ∆AOE là tam giác cân tại O (OA = OE) có OI là đường trung tuyến (vì I là trung điểm của AE) nên OI cũng là đường cao, tức là $\widehat {AIO} = 90^\circ$ hay OI ⊥ AI.

Tương tự, đối với tam giác AO*'F, ta có $\widehat {AKO'} = 90^\circ$ hay O'*K ⊥ KF.

Do đó OI // O*'*K (cùng vuông góc với d).

Tứ giác OO*'KI có OI // O'K và $\widehat {OIK} = \widehat {O'KI} = 90^\circ$ nên OO'*KI là hình thang vuông.

b) Theo đề bài, EI = IA và AK = KF nên ta có EA = 2IA và AF = 2AK.

Ta có: EF = EA + AF = 2IA + 2AK = 2(IA + AK) = 2IK. Do đó $IK = \frac{1}{2}EF.$

c) Khi d đi qua A thì tứ giác OO*'*KI luôn là hình thang vuông.

Nếu hình thang vuông đó là hình chữ nhật thì IK // OO*', hay d // OO'*.

Ngược lại, nếu d // OO*'* thì IK // OO*'* nên OO*'*KI là hình chữ nhật.

Vậy để tứ giác OO*'KI là hình chữ nhật thì d // OO'*.

(H.5.51)

a) Gọi R, r lần lượt là bán kính của hai đường tròn (O) và (O*'*).

Ta có OO*'* = R – r nên hai đường tròn (O) và (O*'*) tiếp xúc trong với nhau.

b) Tam giác ODE cân tại O (OD = OE = R) có OH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến của ∆ODE, hay DH = HE.

Tứ giác ADCE có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại H là trung điểm mỗi đường nên ADCE là hình bình hành. Lại có AC ⊥ DE tại H, suy ra ADCE là hình thoi.

c) Tam giác KCB có đường trung tuyến KO*'* và KO*'* = CO*'* = BO*'* nên tam giác KCB là tam giác vuông tại K, suy ra $\widehat {CKB} = 90^\circ$ hay KC ⊥ KB. (1)

Tương tự, ta có $\widehat {ADB} = 90^\circ$ hay DA ⊥ DB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra KC // AD.

Lại có EC // AD (vì ADCE là hình thoi), do đó ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d) Xét tam giác DEK vuông tại K có KH là đường trung tuyến nên KH = DH = EH.

Do đó tam giác KHE cân tại H, suy ra $\widehat {HKE} = \widehat {HEK}.$

Lại có, ∆O*'CK cân tại O'* nên $\widehat {O'CK} = \widehat {O'KC}.$

$\widehat {HKE} + \widehat {O'CK} = \widehat {HKE} + \widehat {O'KC}$

$\widehat {O'KH} = \widehat {HKE} + \widehat {O'CK}.$

Mặt khác $\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}$ (hai góc đối đỉnh).

Tam giác HEC vuông tại H nên $\widehat {KEH} + \widehat {HCE} = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {HKE} + \widehat {O'CK} = \widehat {HKE} + \widehat {HCE}$ $= \widehat {KEH} + \widehat {HCE} = 90^\circ$ hay $\widehat {O'KH} = 90^\circ .$

Do đó HK ⊥ O*'*K.

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O*'*).