Giải VTH Toán 9 KNTT Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Đáp án đúng là: C

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là a và b (cm) (a, b > 0).

Diện tích hình chữ nhật là 48 cm$^{2}$ nên ta có phương trình ab = 48 (1).

Nếu tăng chiều dài thêm 2 cm thì diện tích hình chữ nhật tăng lên 12 cm$^{2}$ nên ta có phương trình (a + 2)b = 48 + 12, hay ab + 2b = 60 (2).

Thay ab = 48 vào phương trình (2), ta được 48 + 2b = 60 hay 2b = 12, suy ra b = 6.

Từ b = 6, ta được $a=\frac{48}{6}=8.$

Vậy độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là 8; 6.

Đáp án đúng là: B

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{ab}$ (1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9).

Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3 nên ta có phương trình a – b = 3 (1).

Hai lần chữ số hàng chục cộng với chữ số hàng đơn vị bằng 15 nên ta có phương trình

2a + b = 15 (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}a-b=3 \\ 2a+b=15\end{matrix}.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được 3a = 18 hay a = 6.

Thay a = 6 vào phương trình thứ nhất, ta có 6 – b = 3 hay b = 3.

Vậy số tự nhiên cần tìm là 63.

Đáp án đúng là: A

Gọi số tuổi của mẹ là a, số tuổi của con là b (tuổi) (a > b > 0)

Sáu năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con nên ta có phương trình (a – 6) = 5(b – 6) (1).

Hiện nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con nên ta có phương trình a = 3b (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}(a-6)=5(b-6) \\ a=3b\end{matrix}.$

Thay a = 3b vào phương trình thứ nhất, ta được 3b – 6 = 5(b – 6)

3b – 5b = 6 – 30

−2b = −24

b = 12

Thay b = 12 vào phương trình thứ hai, ta được a = 3.12 = 36.

Vậy năm nay mẹ 36 tuổi.

Đáp án đúng là: B

Đổi 12% = 0,12; 10% = 0,1; 20% = 0,2.

Gọi số gam dung dịch HCl nồng độ 10% và 20% cần sử dụng lần lượt là a và b (gam) (0 < a, b < 50).

Cần pha 50 gam dung dịch HCl nồng độ 12% từ dung dịch HCl 10% và dung dịch HCl nồng độ 12% nên ta có hai phương trình a + b = 50 (1) và 0,1a + 0,2b = 0,12.50 = 6 (2).

Từ phương trình (1), ta được a = 50 – b. Thay a = 50 – b vào phương trình (2), ta được 0,1(50 – b) + 0,2b = 6 hay 5 – 0,1b + 0,2b = 6. Suy ra 0,1b = 1 hay b = 10.

Từ đó a = 50 – 10 = 40.

Vậy để pha 50 gam dung dịch HCl nồng độ 12%, ta cần 40 gam dung dịch HCl nồng độ 10% và 10 gam dung dịch HCl nồng độ 20%.

• Gọi x là chữ số hàng chục, y là chữ số hàng đơn vị (khi đó n = 10x + y). Điều kiện của ẩn là: x, y ∈ ℕ và 0 < x ≤ 9 và 0 ≤ x ≤ 9.

Tổng của hai chữ số đó bằng 12 nên ta có phương trình x + y = 12 (1).

Khi viết hai chữ số của n theo thứ tự ngược lại, ta được số 10y + x. Theo giả thiết ta có phương trình (10y + x) – (10x + y) = 36 hay −9x + 9y = 36.

Do đó, ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}x+y=12 \\ -x+y=4\end{matrix}.$

• Giải hệ phương trình:

Từ phương trình thứ nhất, ta có y = 12 – x. Thay y = 12 – x vào phương trình thứ hai, ta được –x + 12 – x = 4 hay 12 – 2x = 4. Suy ra x = 4.

• Các giá trị x = 4 và y = 12 – 4 = 8 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy số n cần tìm là 48.

• Gọi x là số lần bắn được 8 điểm và y là số lần bắn được 6 điểm. Điều kiện là x, y ∈ ℕ; x, y < 100).

Vận động viên bắn súng 100 lần nên ta có phương trình 25 + 42 + x + 15 + y = 100 hay x + y = 18. (1)

Điểm số trung bình là 8,69 điểm nên (10.25 + 9.42 + 8x + 7.15 + 6y) : 100 = 8,69 hay 8x + 6y = 136. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}x+y=18 \\ 8x+6y=136\end{matrix}.$

• Giải hệ phương trình:

Từ phương trình thứ nhất, ta có x = 18 – y. Thay x = 18 – y vào phương trình thứ hai ta được 8(18 – y) + 6y = 136 hay 144 – 2y = 136, suy ra y = 4.

• Các giá trị x = 18 – 4 = 14 và y = 4 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy ở cột ứng với 8 điểm là số 14 và ở cột ứng với 6 điểm là số 4.

Đổi 30 phút $=\frac{1}{2}$ giờ.

• Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) và vận tốc của dòng nước là y (km/h). Do vận tốc thực của ca nô phải thắng được vận tốc dòng nước nên điều kiện của ẩn là x > y > 0.

Ca nô đi xuôi dòng 8 km hết $\frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình $x+y=8:\frac{1}{2}$ hay x + y = 16. (1)

Mặt khác, ca nô đi ngược dòng 8 km hết $\frac{2}{3}$ giờ nên ta có phương trình $x-y=8:\frac{2}{3}$ hay x – y = 12. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y=16 \\ x-y=12\end{matrix}.$

• Giải hệ phương trình:

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được 2x = 28 hay x = 14.

Thay x = 14 vào phương trình thứ hai, ta có 14 – y = 12 hay y = 2.

• Các giá trị x = 14 và y = 2 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc thực của ca nô là 12 km/h, vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

• Gọi x và y lần lượt là số tấn thóc mà đơn vị thứ nhất và thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái. Điều kiện: x > 0, y > 0.

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc nên ta có phương trình x + y = 3 600. (1)

Năm nay, số tấn thóc đơn vị thứ nhất và thứ hai thu hoạch được lần lượt là 115%x và 112%y. Tổng hai đơn vị thu hoạch được 4 095 tấn thóc nên ta có phương trình 115%x + 112%y = 4 095 hay 1,15x + 1,12y = 4 095. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}x+y=3600 \\ 1{,}15x+1{,}12y=4095\end{matrix}.$

• Giải hệ phương trình:

Từ phương trình thứ nhất, ta có x = 3600 – y. Thay x = 3600 – y vào phương trình thứ hai, ta được 1,15(3600 – y) + 1,12y = 4095 hay 4140 – 0,03y = 4095. Suy ra 0,03y = 45 hay y = 1500.

Do đó x = 3600 – 1500 = 2100.

• Các giá trị x = 2100 và y = 1500 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy năm nay, số tấn thóc đơn vị thứ nhất thu hoạch được là

115%.2100 = 2 415 (tấn);

đơn vị thứ hai thu hoạch được là 112%.1500 = 1 680 (tấn).

• Gọi giá mỗi cuốn sách mới và cũ lần lượt là x, y (nghìn đồng). Điều kiện: x > 0, y > 0.

Hòa mua 5 cuốn sách mới và 3 cuốn sách cũ hết 124 nghìn đồng nên ta có phương trình

5x + 3y = 124. (1)

Hòa tiếp tục mua 2 cuốn sách mới và 7 cuốn sách cũ hết 96 nghìn đồng nên ta có phương trình 2x + 7y = 96. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}5x+3y=124 \\ 2x+7y=96\end{matrix}.$

• Giải hệ phương trình:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 5, ta được hệ mới $\{\begin{matrix}10x+6y=248 \\ 10x+35y=480\end{matrix}.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được −29y = −232 hay y = 8.

Thế y = 8 vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta có 2x + 7.8 = 96, suy ra x = 20.

• Các giá trị x = 20 và y = 8 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy giá mỗi cuốn sách mới và cũ lần lượt là 20 nghìn đồng và 8 nghìn đồng.

• Gọi x là số giờ để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình, y là số giờ để người thứ hai hoàn thành công việc một mình. Điều kiện: x > 0, y > 0.

Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc) và người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Cả hai cùng làm thì mỗi giờ được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (công việc) và hoàn thành toàn bộ công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình $16(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1.$ (1)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ được $\frac{3}{x}$ (công việc); người thứ hai làm trong 6 giờ được $\frac{6}{y}$ (công việc) và khi đó cả hai chỉ hoàn thành được 25% ($=\frac{1}{4}$ công việc) nên ta có phương trình $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}.$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình (I) $\{\begin{matrix}16(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1 \\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}\end{matrix}.$

• Đặt $u=\frac{1}{x}$ và $v=\frac{1}{y},$ ta đưa hệ (I) về dạng (II) $\{\begin{matrix}16(u+v)=1\ (3) \\ 3u+6v=\frac{1}{4}\ (4)\end{matrix}$

Giải hệ (II): Từ (3) ta có $u+v=\frac{1}{16}.$ Thay thế giá trị này vào (4), ta được:

$3(u+v)+3v=\frac{1}{4}$ hay $\frac{3}{16}+3v=\frac{1}{4},$ suy ra $v=\frac{1}{48}.$ Do đó $u=\frac{1}{24}.$

Từ đó, ta có:

$u=\frac{1}{x}=\frac{1}{24}$ suy ra x = 24; $v=\frac{1}{y}=\frac{1}{48}$ suy ra y = 48.

• Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ, người thứ hai hoàn thành trong 48 giờ.