Giải VTH Toán 9 KNTT Bài 13. Mở đầu về đường tròn có đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi O là trung điểm BC.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $\frac{1}{2}$ cạnh huyền.

Suy ra $OA = OB = OC = \frac{1}{2}BC.$

Vậy tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC là trung điểm của BC.

Đáp án đúng là: B

Xét đường tròn (O; 2), ta có R = 2.

Ta có:

• $OA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2$ < R nên điểm A nằm trong đường tròn (O; 2).

• $OB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5$ > R nên điểm B nằm ngoài đường tròn (O; 2).

• $OC = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2$ = R nên điểm C nằm trên đường tròn (O; 2).

Vậy khẳng định B là khẳng định sai.

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm BC.

• Xét tam giác BEC vuông tại E có $IE = IB = IC = \frac{{BC}}{2}$ (vì IE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

• Xét tam giác BDC vuông tại D có $ID = IB = IC = \frac{{BC}}{2}$ (vì ID là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Từ đó ta có $ID = IE = IB = IC = \frac{{BC}}{2}$ nên bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn có bán kính $R = \frac{{BC}}{2}.$

Gọi K là trung điểm AH.

• Xét tam giác AEH vuông tại E có $EK = KA = KH = \frac{{AH}}{2}$ (vì EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

• Xét tam giác ADH vuông tại D có $DK = KA = KH = \frac{{AH}}{2}$ (vì DK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Từ đó ta có $EK = DK = KA = KH = \frac{{AH}}{2}$ nên bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn có bán kính $R = \frac{{AH}}{2}.$

Ta có DE < BC.

Vậy cả 3 đáp án A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

Vậy đường tròn có vô số trục đối xứng.

(H.5.1)

• Điểm M(0; 2) nằm trong $\left( {O;\sqrt 5 } \right)$ vì OM = 2 < $R = \sqrt 5 .$

• Điểm N(0; −3) nằm ngoài $\left( {O;\sqrt 5 } \right)$ vì ON = 3 > $R = \sqrt 5 .$

• Điểm P(2; −1) có $O{P^2} = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 5,$ tức là $OP = R = \sqrt 5$ nên P nằm trên $\left( {O;\sqrt 5 } \right).$

(H.5.2).

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên $AO = OB = OC = \frac{{BC}}{2}.$

Do đó, ba điểm A, B, C cùng cách đều điểm O nên A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm O, bán kính $\frac{{BC}}{2}.$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 9 + 16 = 25,$ suy ra $BC = \sqrt {25} = 5$ (cm).

Do đó $R = \frac{{BC}}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5$ (cm).

Vậy ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn tâm O bán kính 2,5 cm.

(H.5.3)

a) Vì d là một đường kính của đường tròn và B đối xứng với A qua d nên từ A ∈ (O) suy ra AB ⊥ d.

Lại có O là tâm của đường tròn và C, D lần lượt là điểm đối xứng với A, B qua O nên từ A, B ∈ (O) suy ra C và D cũng thuộc đường tròn (O).

Vậy ba điểm B, C và D thuộc đường tròn (O).

b) Vì C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC.

Vì D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD.

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD và O là trung điểm của AC và BD nên ABCD là hình bình hành.

Lại có, AC = BD (cùng bằng đường kính của (O)).

Do đó, hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

c) Vì B là điểm đối xứng với A qua d nên d là đường trung trực của AB.

Hình chữ nhật ABCD có AB // CD nên d cũng là đường trung trực của CD.

Do đó C và D đối xứng với nhau qua d.

(H.5.4)

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD (hai đường chéo bằng nhau), AE = BE = CE = DE (nửa đường chéo).

Do đó A, B, C, D nằm trên đường tròn tâm E.

Hai đường chéo đi qua E nên AC, BD là hai trục đối xứng của đường tròn (E).

b) Do ABC là tam giác vuông tại B, có AB = BC = 3 cm nên theo định lí Pythagore, ta được $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {3^2} + {3^2} = 18.$

Suy ra $AC = \sqrt {18} = 3\sqrt 2$ (cm).

Vậy bán kính của đường tròn (E) là $R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$ (cm).

(H.5.5)

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là đường trung trực của đoạn BC, suy ra H là trung điểm của BC.

Tam giác ACH vuông tại H nên theo định lí Pythagore, ta được

$A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = A{C^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = {20^2} - {\left( {\frac{{24}}{2}} \right)^2} = 256.$

Suy ra $AH = \sqrt {256} = 16$ (cm).

Tam giác ACD có AD là đường kính nên tam giác ACD là tam giác vuông tại C.

Trong tam giác ACD vuông tại C, ta có:

$A{C^2} = AH.AD,$ suy ra $AD = \frac{{A{C^2}}}{{AH}} = \frac{{{{20}^2}}}{{16}} = 25$ (cm).

Vậy bán kính của đường tròn (O) là $R = \frac{{AD}}{2} = \frac{{25}}{2} = 12{,}5$ (cm).