Giải VTH Toán 8 KNTT Bài 14. Hình thoi và hình vuông đáp án

a) Trong hình thoi hai đường chéo vuông góc với nhau và là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

b) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

c) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

d) Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

a) Nếu ABCD là một hình vuông thì ta có: AC = BD, AC vuông góc với BD, AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường, AC là tia phân giác của góc A, BD là tia phân giác của góc D.

b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

c) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

d) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

e) Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

f) Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

a) Tứ giác ABCD không là hình thoi hay hình vuông (ABCD là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối bằng nhau).

b) Tứ giác EFGH là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

c) Tam giác OMN có $\widehat{OMN}=45^{\circ},\ \widehat{MON}=90^{\circ}$ nên ∆OMN vuông góc tại O. Tương tự ba tam giác ONP, OPQ, OQR là những tam giác vuông tại O. Do đó tứ giác MNPQ có 4 góc vuông nên là hình chữ nhật. Hình chữ nhật MNPQ có hai đường chéo vuông góc nên là hình vuông.

d) Tứ giác RSUT không là hình thoi hay hình vuông.

(H.3.33). a) Tứ giác AEDF có AE // DF, ED // AF nên AEDF là hình bình hành.

b) Để AEDF là hình thoi cần phải có AD là đường phân giác của góc A. Tam giác ABC cân tại A nên có đường phân giác AD cũng là đường trung tuyến, do đó D là trung điểm của BC.

Ngược lại, nếu D là trung điểm của cạnh BC thì AD cũng là đường phân giác của góc A (do tam giác ABC cân tại A). Khi đó hình bình hành AEDF có AD là đường phân giác của góc A nên nó là hình thoi.

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì hình bình hành AEDF có một góc vuông nên AEDF là hình chữ nhật.

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì AEDF là hình chữ nhật.

Để AEDF là một hình vuông thì nó còn là một hình thoi nên theo câu b, D phải là trung điểm của BC.

(H.3.34). Ta có AE = EB, AH = HD ⇒ HE // BD, HE = $\frac{1}{2}$BD.

Tương tự GF // BD, GF = $\frac{1}{2}$BD, EF // AC, EF = $\frac{1}{2}$AC.

Suy ra HE // GF, HE = GF, do đó HEFG là hình bình hành.

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD ⇒ HE = GF = EF = HG ⇒ HEFG là hình thoi.

(H.3.35). Trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của hình thoi ABCD lần lượt là M, N, P, Q. Tương tự bài 3, ta chứng minh được MNPQ là hình bình hành.

Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD. (1)

Ta có MN // AC, MQ // BD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN ⊥ MQ ⇒ MNPQ là hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Hai tam giác vuông AMB và DMC có AB = DC, BM = MC nên ∆AMB = ∆DMC (c.g.c) ⇒ $\widehat{AMB}=\widehat{DMC}.$

Do góc $\widehat{AMD}=90^{\circ}$$\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{DMC}=(180^{\circ}-90^{\circ}):2=45^{\circ}.$

Do đó ∆AMB vuông cân tại B, ∆DMC vuông cân tại C.

Suy ra AB = BM = MC = CD.

Ta có AD = BC = 2AB, suy ra chu vi của ABCD bằng

AB + BC + CD + DA = 36

Do đó AB = CD = 36 : 6 = 6 cm, AD = CB = 12 cm.

(H.3.37). Vì MK = MH, NB = NH ⇒ MN là đường trung bình trong tam giác HKB.

⇒ MN // KB và MN = $\frac{1}{2}$KB (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

PQ // KB và PQ = $\frac{1}{2}$KB (2)

NP // CH và NP = $\frac{1}{2}$CH (3)

Từ (1) và (2), ta có MN // PQ và MN = PQ ⇒ MNPQ là hình bình hành (4)

Ta có BK = CH (giả thiết). (5)

Từ (1), (3) và (5), ta có MN = NP ⇒ MNPQ là hình thoi (6)

Vì ∆ABC vuông tại A (giả thiết) ⇒ BK ⊥ CH, mà NP // CH, MN // KB (chứng minh trên).

⇒ MN ⊥ NP (7).

Từ (6) và (7), ta có MNPQ là hình thoi có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.