Giải VTH Toán 7 KNTT Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác có đáp án

Đáp án đúng là: C

Điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC khi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.

Đáp án đúng là: D

H là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC, khi đó H cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

Đáp án đúng là: D

H là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC, khi đó, H là trực tâm của tam giác ABC và vị trí điểm H:

+ Nằm bên trong tam giác ABC khi tam giác này là tam giác nhọn;

+ Trùng với A khi tam giác ABC là tam giác vuông tại A;

+ Nằm bên ngoài tam giác ABC khi tam giác này là tam giác tù;

Vậy điểm H có thể nằm ngoài tam giác ABC.

Ta kí hiệu các đường cao AI, BJ, CK, đồng quy tại H và các góc như hình vẽ.

Trong tam giác vuông JHA có $\widehat {{A_1}} + \widehat {{H_1}} = 90^\circ$.

Trong tam giác vuông KHA có $\widehat {{H_2}} + \widehat {{A_2}} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {{A_1}} + \widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ$,

hay $\left( {\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}}} \right) + \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = 180^\circ$, tức là $\widehat {BHC} + \widehat {JAK} = 180^\circ$.

Ta lại có $\widehat {JAK} = \widehat {BAC} = 100^\circ$ (đối đỉnh),

suy ra $\widehat {BHC} = 180^\circ - \widehat {JAK} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Giả sử O nằm trên cạnh BC thì theo giả thiết, OB = OC nên O là trung điểm của BC.

Từ giả thiết OA = OB = OC nên tam giác OAB cân tại O, tam giác OAC cân tại O.

Vậy $\widehat A = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat B + \widehat C$, mà $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$, hay $2\widehat A = 180^\circ$, suy ra $\widehat A = 180^\circ$ hay tam giác ABC vuông tại A.

Kẻ HJ ⊥ c, HJ cắt b tại B ; Kẻ HK ⊥ b, HK cắt c tại C.

Khi đó tam giác ABC có hai đường cao BJ và CK cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Xét ∆ABE và ∆HBE có: BE chung, $\widehat {BAE} = \widehat {BHE} = 90^\circ$, $\widehat {ABE} = \widehat {HBE}$(BE là tia phân giác của $\widehat {ABC}$).

Do đó ∆ABE = ∆HBE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AE = EH (hai cạnh tương ứng).

Trong tam giác vuông EHC, ta có EC là cạnh huyền nên EH < EC, mà AE = EH (cmt), suy ra AE < EC.

Từ ∆ABE = ∆HBE, suy ra AB = HB (hai cạnh tương ứng), suy ra tam giác ABH cân tại B có BE là đường phân giác nên BE cũng là đường trung trực của AH.

Tam giác KBC có hai đường cao CA và KH cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác, do đó BE là đường cao của tam giác KBC.

Mặt khác có BE là đường phân giác của $\widehat {ABC}$ nên BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác trong của tam giác KBC, suy ra tam giác BKC cân tại B.