Giải VTH Toán 7 KNTT Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác có đáp án

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G nên G là trọng tâm của tam giác.

Khi đó ta có: $\frac{{GA}}{{MA}} = \frac{{GB}}{{NB}} = \frac{{GC}}{{PC}} = \frac{2}{3}$. Vậy trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án C đúng.

Đáp án đúng là: D

Theo Câu 1, ta có: $\frac{{GA}}{{MA}} = \frac{{GB}}{{NB}} = \frac{{GC}}{{PC}} = \frac{2}{3}$.

Từ $\frac{{GA}}{{MA}} = \frac{2}{3}$, suy ra 3GA = 2MA hay 3GA = 2(GA + GM). Suy ra GA = 2GM. Vậy đáp án A đúng.

Tương tự, ta có GB = 2NG, suy ra $\frac{{NG}}{{GB}} = \frac{1}{2}$. Vậy đáp án B đúng.

Từ $\frac{{GC}}{{PC}} = \frac{2}{3}$, suy ra 3GC = 2PC hay 3(PC – PG) = 2PC, suy ra PC = 3PG.

Do đó, $\frac{{PG}}{{PC}} = \frac{1}{3}$. Vậy đáp án C đúng.

Đáp án D sai do $\frac{{GA}}{{MA}} = \frac{2}{3}$, suy ra $\frac{{MA}}{{GA}} = \frac{3}{2}$.

Nếu AD, BE cắt nhau tại I thì CF đi qua I.

Đáp án đúng là: D

I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác nên I cách đều ba cạnh của tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

BG = $\frac{2}{3}$BN, CG = $\frac{2}{3}$CP,

BG = 2 GN, CG = 2 GP.

Tam giác ABC cân tại A và có BN, CP là hai đường trung tuyến. Ta cần chứng minh BN = CP.

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC; $\widehat {PBC} = \widehat {NCB}$.

Do N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB nên BP = $\frac{1}{2}$AB, CN = $\frac{1}{2}$AC, do đó BP = CN.

Xét hai tam giác BCP và CBN, ta có:

BP = CN; $\widehat {PBC} = \widehat {NCB}$; BC chung, do đó ∆BCP = ∆CBN (c.g.c).

Suy ra CP = BN.

BN, CP là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, BN = CP. Ta sẽ chứng minh AB = AC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Xét hai tam giác PGB và NGC, ta có:

PG = NG; BG = CG; $\widehat {BGP} = \widehat {CGN}$ (đối đỉnh).

Vậy ∆PGB = ∆NGC (c.g.c), suy ra BP = NC.

Do đó AB = 2PB = 2NC = AC.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Trong tam giác GBC, vì $\widehat {GBC} > \widehat {GCB}$ nên GC > GB hay $\frac{2}{3}$CN > $\frac{2}{3}$BM.

Suy ra CN > BM.

Ta có $\widehat {IBC} = \frac{{\widehat B}}{2},\,\,\widehat {ICB} = \frac{{\widehat C}}{2}$, $\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2}} \right)$,

mà $\frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2} = \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Do đó $\widehat {BIC}$ = 180° – 30° = 150°.

Do ∆ABC cân tại A nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

Do BE là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên $\widehat {ABC} = 2\widehat {EBC}$.

Do CF là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {ACB} = 2\widehat {FCB}$.

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ nên $\widehat {EBC} = \widehat {FCB}$.

Xét ∆FBC và ∆ECB có:

$\widehat {FCB} = \widehat {EBC}$ (chứng minh trên).

BC chung.

$\widehat {FBC} = \widehat {ECB}$ (do $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$).

Suy ra ∆FBC = ∆ECB (g.c.g).

Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông ABE và MBE, ta có:

BE cạnh chụng, $\widehat {ABE} = \widehat {MBE}$ (BE là tia phân giác góc ABC).

Do đó ∆ABE = ∆MBE (cạnh huyền – góc nhọn).

Trong tam giác vuông ABC, ta có $\widehat B = 60^\circ$nên $\widehat C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Vì BE là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên $\widehat {ABE} = \widehat {CBE} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Vậy tam giác BEC có $\widehat C = \widehat {CBE} = 30^\circ$ nên tam giác BEC cân tại E.

Tam giác BEC cân tại E và có EM là đường cao nên cũng là trung tuyến , suy ra MB = MC.

Ta có góc $\widehat {EAI}$ kề bù với góc vuông $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {EAI} = 90^\circ$.

Trong tam giác vuông AEI có cạnh IE là cạnh huyền nên IE > AE. (1)

Theo câu a) ∆ABE = ∆MBE nên AE = EM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra IE > EM.