Giải VTH Toán 7 KNTT Bài 25. Đa thức một biến có đáp án

Đáp án đúng là: A

Biểu thức P chứa tích của một số với lũy thừa bậc 1 của biến x nên đây là một đơn thức.

Biểu thức Q không phải là một đơn thức vì biến x không có dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên.

Đáp án đúng là: B

Biểu thức M không phải là đa thức do nó không phải là tổng của những đơn thức vì $\frac{1}{{{x^2}}}$ không phải đơn thức.

Biểu thức N là đa thức vì nó là tổng của các đơn thức x$^{2}$ và $\frac{1}{2}$x$^{2}$.

Đáp án đúng là: D

Đa thức P = – 3x$^{2}$ + 2x$^{3}$ – x$^{2}$ + 1 có chứa hai đơn có cùng bậc là – 3x$^{2}$ và – x$^{2}$ nên đây không phải là đa thức thu gọn.

Đa thức Q = 4 – 3x + x$^{2}$ + x + x$^{3}$ có chứa hai đơn thức có cùng bậc là – 3x và x nên đây không phải là đa thức thu gọn.

Vậy cả đa thức đều không phải là đa thức thu gọn.

Đáp án đúng là: B

Trước tiên, ta thu gọn đa thức F:

F = x$^{5}$ + 5 – 2x + 0,5x$^{4}$ – x$^{5}$ + 6x$^{3}$

= (x$^{5}$ – x$^{5}$) + 0,5x$^{4}$ + 6x$^{3}$ – 2x + 5

= 0,5x$^{4}$ + 6x$^{3}$ – 2x + 5.

Đa thức thu gọn F = = 0,5x$^{4}$ + 6x$^{3}$ – 2x + 5 có hạng tử 0,5x$^{4}$ có bậc cao nhất và bậc của đơn thức này và 4 và hệ số là 0,5. Vậy bậc của đa thức F là 4 và hệ số cao nhất của đa thức F là 0,5.

Đáp án đúng là: C

Tính giá trị của biểu thức F và G tại x = 2 và x = – 2 ta có:

F(2) = 3 . 2$^{2}$ + 5. 2 – 2 = 12 + 10 – 2 = 20;

F(– 2) = 3 . (– 2)$^{2}$ + 5 . (– 2) – 2 = 12 – 10 – 2 = 0;

G(2) = 3 . 2$^{2}$ – 5 . 2 – 2 = 12 – 10 – 2 = 0;

G(– 2) = 3 . (– 2)$^{2}$ – 5 . (– 2) – 2 = 12 + 10 – 2 = 20.

Vậy – 2 là nghiệm của đa thức F, còn 2 là nghiệm của đa thức G.

Ta có: $\left( {\frac{1}{2}{x^3}} \right)$.(-4x$^{2}$) = $\frac{1}{2}$ . (-4) . x$^{3+ 2}$ = -2x$^{5}$.

Đây là đơn thức bậc 5 và có hệ số là -2.

Ta có: $\frac{1}{2}$x$^{3}$ - $\frac{5}{2}$x$^{3}$ = $\left( {\frac{1}{2} - \frac{5}{2}} \right)$x$^{3}$ = -2x$^{3}$.

Đây là đơn thức bậc 3 và có hệ số là -2.

Do $\sqrt 9 = 3$ nên

4,7x$^{4}$ – $\sqrt 9$x$^{4}$ + 0,3x$^{4}$ = 4,7x$^{4}$ – 3x$^{4}$ + 0,3x$^{4}$ = (4,7 – 3 + 0,3)x$^{4}$ = 2x$^{4}$.

A(x) = x$^{3}$ + $\frac{3}{2}$x - 7x$^{4}$ + $\frac{1}{2}$x - 4x$^{2}$ + 9

= -7x$^{4}$ + x$^{3}$ - 4x$^{2}$ + $\left( {\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}x} \right)$ + 9.

= -7x$^{4}$ + x$^{3}$ - 4x$^{2}$ + 2x + 9

Vậy A(x) = - 7x$^{4}$ + x$^{3}$ - 4x$^{2}$ + 2x + 9.

B(x) = x$^{5}$ - 3x$^{2}$ + 8x$^{4}$ - 5x$^{2}$ - x$^{5}$ + x - 7

= (x$^{5}$ - x$^{5}$) + (-3x$^{2}$ - 5x$^{2}$) + 8x$^{4}$ + x - 7

= 8x$^{4}$ - 8x$^{2}$ + x - 7

Vậy B(x) = 8x$^{4}$ - 8x$^{2}$ + x - 7.

A(x) là đa thức bậc 4, có hệ số cao nhất là - 7 và hệ số tự do là 9.

B(x) là đa thức có bậc 4, có hệ số cao nhất là 8 và hệ số tự do là -7.

Thu gọn:

P(x) = 5x$^{3}$ + 2x$^{4}$ - x$^{2}$ + 3x$^{2}$ - x$^{3}$ - 2x$^{4}$ - 4x$^{3}$

= (5x$^{3}$ - x$^{3}$ - 4x$^{3}$) + (2x$^{4}$ - 2x$^{4}$) + (-x$^{2}$ + 3x$^{2}$)

= 2x$^{2}$

Q(x) = 3x - 4x$^{3}$ + 8x$^{2}$ - 5x + 4x$^{3}$ + 5

= (3x - 5x) + (-4x$^{3}$ + 4x$^{3}$) + 8x$^{2}$ + 5

= 8x$^{2}$ - 2x + 5.

Từ kết quả trên, ta có P(1) = 2 . 1$^{2}$ = 2; P(0) = 2 . 0$^{2}$ = 0;

Q(-1) = 8 . (-1)$^{2}$ - 2 . (-1) + 5 = 8 - (-2) + 5 = 8 + 2 + 5 = 15;

Q(0) = 8 . 0$^{2}$ - 2 . 0 + 5 = 5.

Trong x giờ, máy bơm thứ nhất bơm được 22x m$^{3}$ nước, máy bơm thứ hai bơm được 16x m$^{3}$ nước. Ngoài ra, máy bơm thứ hai còn trong 0,5 giờ nữa; lượng nước bơm được trong thời gian đó là 0,5 . 16 = 8 m$^{3}$ nước.

Trước khi bơm, trong bể có 1,5 m$^{3}$ nước, do đó tổng lượng nước khi bể đầy là:

V = 22x + 16x + 8 + 1,5 (m$^{3}$).

Thu gọn V = 22x + 16x + 8 + 1,5 = 38x + 9,5.

Ta được V = 38x + 9,5 là đa thức bậc 1 với hệ số cao nhất là 38 và hệ số tự do là 9,5.

Do bậc của F(x) bằng 3 và hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 nên ta có hạng tử -6x$^{3}$.

Do hệ số của x$^{2}$ bằng hệ số của x và bằng 2 nên ta có 2 hạng tử là 2x$^{2}$và 2x.

Do hệ số tự do bằng 3 nên ta có hạng tử 3.

Đa thức cần tìm là F(x) = -6x$^{3}$ + 2x$^{2}$ + 2x + 3.

Thay x = $- \frac{1}{8}$ vào P(x), ta được

$$P\left( { - \frac{1}{8}} \right) = 4.\left( { - \frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{2}$$

$= \frac{{ - 1}}{2} + \frac{1}{2}$$= 0$

Điều đó chứng tỏ x = $- \frac{1}{8}$ là nghiệm của P(x).

Ta có: Q(1) = 1$^{2}$ + 1 - 2 = 0; Q(-1) = (- 1)$^{2}$ + (- 1) - 2 = -2 và Q(2) = 2$^{2}$ + 2 - 2 = 4.

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức Q(x) = x$^{2}$ + x - 2.

Số tiền mua sách tham khảo và bộ dụng cụ học tập là x + 37 (nghìn đồng).

Vậy biểu thức biểu thị số tiền còn lại là 100 - (x + 37) = - x + 63 (nghìn đồng).

Ta được đa thức bậc 1 là R = – x + 63.

Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho, có nghĩa là R = 0, điều này xảy ra khi - x + 63 = 0, tức là x = 63.

Vậy giá tiền của cuốn sách là 63 nghìn đồng.

Nếu đa thức A(x) = x$^{2}$ + mx – 3 có nghiệm x = 1 thì ta có:

A(1) = 1$^{2}$ + m . 1 – 3 = m – 2 = 0.

Từ đó suy ra m = 2.

Ngược lại, nếu m = 2 thì A(x) = x$^{2}$ + 2x – 3.

Khi đó x = 1 là nghiệm của A(x) vì 1$^{2}$ + 2. 1 – 3 = 0.

Vậy giá trị cần tìm của m là 2.

Thay x = 0 vào F(x), ta được F(0) = m – 1. Sử dụng kết quả này, ta có:

• Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = 0 thì F(0) = 0, suy ra m – 1 = 0. Do đó m = 1.

• Ngược lại, nếu m = 1 thì F(0) = 1 – 1 = 0, chứng tỏ x = 0 là nghiệm của F(x).

Khi m = 1, ta có F(x) = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2x. Ta thấy:

• F(1) = 1$^{3}$ – 3 . 1$^{2}$ + 2 . 1 = 0. Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức F(x).

• F(2) = 2$^{3}$ – 3 . 2$^{2}$ + 2 . 2 = 0. Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức F(x).

Tóm lại, khi m = 1, đa thức F(x) = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2x có ba nghiệm là x = 0, x = 1 và x = 2.