Giải VBT Toán 7 Cánh diều Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Ta có: $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AMC}$ (giả thiết);

$\widehat{AMB}$ + $\widehat{AMC}$ = 180o (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AMC}$= 90o

Vậy đường thẳng AM vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm M của nó nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vì mái nhà bên trái dài 3 m nên OA = 3 m.

Do điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OB = OA = 3 m.

Vậy chiều dài của mái nhà bên phải là 3 m.

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Suy ra điểm A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Xét hai tam giác vuông ABH và ACH, ta có:

AB = AC, AH là cạnh chung.

Suy ra ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Do đó HB = HC. Vì đường thẳng AH vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm H của nó nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vì điểm C, D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên CA = CB, DA = DB

Xét hai tam giác CDA và CDB, ta có:

CA = CB, DA = DB, CD là cạnh chung.

Suy ra ∆CDA = ∆CDB (c.c.c). Do đó $\widehat{CAD}$ = $\widehat{CBD}$ (hai góc tương ứng)

b) Xét hai tam giác vuông MNC và MND, ta có:

NC = ND (giả thiết); MN là cạnh chung.

Suy ra ∆MNC = ∆MND (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) Vì ∆MNC = ∆MND nên $\widehat{DMN}$ = $\widehat{CMN}$ (1)

Ta có: $\widehat{AMD}$ và $\widehat{DMN}$ , $\widehat{BMC}$ và $\widehat{CMN}$ là các cặp góc kề nhau;

$\widehat{AMN}$ = $\widehat{BMN}$ = 90o

Suy ra $\widehat{AMD}$ + $\widehat{DMN}$ =$\widehat{AMN}$ = 90o và $\widehat{BMC}$ + $\widehat{CMN}$ = $\widehat{BMN}$ = 90o

Do đó $\widehat{AMD}$ = 90o – $\widehat{DMN}$ và $\widehat{BMC}$ = 90o – $\widehat{CMN}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AMD}$ = $\widehat{BMC}$

d) Vì ∆MNC = ∆MND nên MC = MD

Xét hai tam giác AMD và BMC, ta có:

AM = BM (giả thiết),$\widehat{AMD}$ = $\widehat{BMC}$ , MD = MC (chứng minh ở trên)

Suy ra ∆AMD = ∆BMC (c.g.c)

Do đó AD = BC ( hai cạnh tương ứng); $\widehat{A}$ = $\widehat{B}$ (hai góc tương ứng)

e) Vì ∆MNC = ∆MND nên $\widehat{MCN}$ = $\widehat{MDN}$(hai góc tương ứng)

Vì ∆BMC = ∆AMD nên $\widehat{BCM}$ = $\widehat{ADM}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $\widehat{MCN}$ + $\widehat{BCM}$ = $\widehat{MDN}+\widehat{ADM}$

Mà $\widehat{MCN}$ và $\widehat{BCM}$ , $\widehat{MDN}$ và $\widehat{ADM}$ là các cặp góc kề nhau nên từ đó suy ra:

$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$.

- Vì a là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên a $\perp$ AB (tính chất đường trung trực) suy ra a ⊥ AC.

- Vì b là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên b $\perp$ BC (tính chất đường trung trực) suy ra b ⊥ AC.

Vì a và b cùng vuông góc với AC nên a // b.

a) Vì điểm I thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên AI = BI.

Do đó: MB = BI + IM = AI + IM

b) Xét tam giác MIA, ta có MA < AI + IM (bất đẳng thức tam giác)

mà AI + IM = MB (chứng minh trên), suy ra MA < MB.

Vẽ các đoạn thẳng IC, ID. Xét hai tam giác ADI và MID, ta có

$\widehat{ADI}$ = $\widehat{DIM}$ (hai góc so le trong);

ID là cạnh chung;

$\widehat{AID}$ = $\widehat{IDM}$(hai góc so le trong).

Suy ra ∆ADI = ∆MID (g.c.g). Do đó AD = MI, IA = DM (các cặp cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có BC = IN, IB = NC

a) Vì AD = BC, AD = MI, BC = IN nên IM = IN.

b) Vì IA = IB, IA = DM, IB = CN nên DM = CN. Mà KC = KD nên KM = KN.

Vì IM = IN và KM = KN nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Suy ra IK$\perp$ MN. Do đó IK $\perp$ CD. Mà AB // CD nên IK $\perp$ AB.

Vì IK $\perp$ CD, KC = KD nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Vì IK $\perp$ AB, IA = IB nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng AB.