Giải VBT Toán 7 Cánh diều Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp án

Trong một tam giác đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi mà một đường cao của tam giác đó (Hình 96).

Đoạn thẳng BA là đường cao đi qua B của tam giác ABC vì B là đỉnh của tam giác và BA vuông góc với AC.

Đoạn thẳng CA là đường cao đi qua C của tam giác ABC vì C là đỉnh của tam giác và CA vuông góc với AB.

Vẽ AM và BN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều nên AB = AC, suy ra A thuộc đường trung trực của cạnh BC

Vì MB = MC nên M cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Do đó AM là đường trung trực của cạnh BC

Suy ra AM BC hay AM là đường cao của tam giác ABC

Chứng minh tương tự ta cũng có BN là đường cao của tam giác ABC.

Vì hai đường cao AM và BN cắt nhau tại G nên G là trực tâm của tam giác ABC.

Vẽ AM và BN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm nên H là giao điểm của AM và BN.

Suy ra AM BC

Do M là trung điểm của BC và AM BC nên AM là đường trung trực của BC suy ra AB = AC.

Chứng minh tương tự ta có BA = BC.

Do đó AB = AC = BC. Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

a) ABC là tam giác nhọn

Trực tâm H nằm trong tam giác ABC

b) ABC là tam giác vuông tại A

Trực tâm H trùng với điểm A của tam giác ABC

c) ABC là tam giác tù tại A

Trực tâm H nằm ngoài tam giác ABC.

Vẽ AM là đường cao của tam giác ABC. Khi đó hai đường thẳng AM và DA cùng đi qua D và vuông góc với BC nên chúng trùng nhau. Suy ra điểm D nằm trên đường cao AM của tam giác ABC.

Tương tự vẽ BN là đường cao của tam giác ABC, ta cũng chứng minh được điểm D nằm trên đường cao BN của tam giác ABC.

Suy ra điểm D là giao điểm của hai đường cao AM và BN của tam giác ABC hay D là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra DC vuông góc với AB.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH AB, AH BC

Mà AB // CD, AD // BC suy ra CH ⊥ CD, AH ⊥ AD

Vì K là trực tâm tam giác ACD nên AK ⊥ CD, CK ⊥ AD

Do AK ⊥ CD, CH ⊥ CD nên AK // CH.

Do AH ⊥ AD, CK ⊥ AD nên AH // CK.

a) Hình 103

b) Hình 104

Vẽ hai đường cao AD, BE của tam giác ABC

Do H trùng với I nên AD, BE là hai đường phân giác của tam giác ABC

Xét hai tam giác vuông ADB và ADC, ta có:

AD là cạnh chung;

$\widehat{DAB}$ = $\widehat{DAC}$ (vì AD là đường phân giác của góc BAC).

Suy ra ∆ADB = ∆ADC (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng). Chứng minh tương tự, ta có BC = BA

Suy ra AB = AC = BC

Vậy nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.