Giải SGK Toán 9 KNTT Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*).

– Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;

Số luống trong vườn sau khi tăng thêm 8 luống là x + 8 (luống).

Khi mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y – 3 (cây).

Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình là:

(x + 8)(y – 3) = xy – 108

xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108

3x – 8y = 84. (1)

– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Số luống trong vườn sau khi giảm đi 4 luống là x – 4 (luống).

Khi mỗi luống trồng thêm 2 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y + 2 (cây).

Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình là:

(x – 4)( y + 2) = xy + 64

xy + 2x – 4y – 8 = xy + 64

2x – 4y = 72

x – 2y = 36. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình .

Từ phương trình thứ hai, ta có x = 2y + 36. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

3(2y + 36) – 8y = 84, tức là 6y + 216 – 8y = 84, suy ra 2y = 132 hay y = 66.

Từ đó x = 2y + 36 = 2 . 66 + 36 = 168.

Số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là: 168 . 66 = 11 088 (cây).

Vậy số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là 11 088 cây.

2. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

2(3 – y) – 3y = 1, tức là 6 – 2y – 3y = 1, suy ra –5y = –5 hay y = 1.

Từ đó x = 3 – 1 = 2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; 1).

a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = 3y + 1. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

–2(3y + 1) + 5y = 1, tức là –6y – 2 + 5y = 1, suy ra –y = 3 hay y = –3.

Từ đó x = 3 . (–3) + 1 = –8.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–8; –3).

b) Từ phương trình thứ nhất ta có y = –4x – 1. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

7x + 2(–4x – 1) = –3, tức là 7x – 8x – 2 = –3, suy ra –x = –1 hay x = 1.

Từ đó y = –4 . 1 – 1 = –4 – 1 = –5.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; –5).

Từ phương trình thứ nhất ta có y = 2x + 3. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

4x – 2(2x + 3) = –4, suy ra 4x – 4x – 6 = –4 hay 0x = 2. (1)

Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Từ phương trình thứ nhất ta có . (1)

Thế vào phương trình thứ hai, ta được

, suy ra hay 0x = 0. (2)

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn hệ thức (2).

Với mọi giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi (1).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là với x ∈ ℝ tùy ý.

Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*).

– Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;

Số luống trong vườn sau khi tăng thêm 8 luống là x + 8 (luống).

Khi mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y – 3 (cây).

Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình là:

(x + 8)(y – 3) = xy – 108

xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108

3x – 8y = 84. (1)

– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Số luống trong vườn sau khi giảm đi 4 luống là x – 4 (luống).

Khi mỗi luống trồng thêm 2 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y + 2 (cây).

Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình là:

(x – 4)( y + 2) = xy + 64

xy + 2x – 4y – 8 = xy + 64

2x – 4y = 72

x – 2y = 36. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình .

Từ phương trình thứ hai, ta có x = 2y + 36. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

3(2y + 36) – 8y = 84, tức là 6y + 216 – 8y = 84, suy ra 2y = 132 hay y = 66.

Từ đó x = 2y + 36 = 2 . 66 + 36 = 168.

Số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là: 168 . 66 = 11 088 (cây).

Vậy số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là 11 088 cây.

2. Thế x = 3 vào phương trình thứ hai, ta được 3 – 2y = 6 hay 2y = –3, suy ra

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được –4x + 3y + 4x – 5y = –8 hay –2y = –8, suy ra y = 4.

Thế y = 4 vào phương trình thứ nhất, ta được –4x + 3. 4 = 0 hay 4x = 12, suy ra x = 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (3; 4).

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được 4x + 3y – x – 3y = –9 hay 3x = –9, suy ra x = –3.

Thế x = –3 vào phương trình thứ hai, ta được –3 + 3y = 9 hay 3y = 12, suy ra x = 4.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–3; 4).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được:

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 23x = 0 hay x = 0.

Thế x = 0 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có 4 . 0 + 3y = 6, suy ra y = 2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (0; 2).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với (–2) và chia hai vế của phương trình thứ hai cho (–2), ta được:

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới ta có 0x + 0y = 2. (1)

Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Ta có a1 = 2, b1 = 3, c1 = –4, a2 = –3, b2 = –7, c2 = 13. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số a1 = 2, b1 = 3, c1 = –4, a2 = –3, b2 = –7, c2 = 13 bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm , màn hình cho bấm tiếp bàn phím ), màn hình cho (xem màn hình sau bước 3).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

b) Ta có a1 = 2, b1 = 3, c1 = 1, a2 = –1, b2 = –1,5, c2 = 1. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số a1 = 2, b1 = 3, c1 = 1, a2 = –1, b2 = –1,5, c2 = 1 bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Ta đưa hệ phương trình đã cho về dạng .

Ta có a1 = 8, b1 = –2, c1 = 6, a2 = 4, b2 = –1, c2 = 3. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số a1 = 8, b1 = –2, c1 = 6, a2 = 4, b2 = –1, c2 = 3 bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

a)

– Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn bằng tổng thể tích của dung dịch acid HCl nồng độ 20% và thể tích dung dịch acid HCl nồng độ 5%.

Theo đề bài, ta cần pha chế 2 lít (hay 2000 mililít) dung dịch acid HCl nồng độ 10%.

Do đó, thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu là: x + y = 2000 (mililít). (1)

– Số gam acid HCl nồng độ 20% nguyên chất là: 20% . x = 0,2x (g).

Số gam acid HCl nồng độ 5% nguyên chất là: 5% . y = 0,05y (g).

Số gam acid HCl nồng độ 10% nguyên chất là: 2000 . 10% = 200 (g).

Do đó, tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này là:

0,2x + 0,05y = 200 (g). (2)

b) Theo kết quả ở câu a, từ (1) và (2) ta lập được hệ phương trình bậc nhất như sau:

.

Từ phương trình thứ nhất ta có y = 2000 – x. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

0,2x + 0,05(2000 – x) = 200, tức là 0,2x + 100 – 0,05x = 200, suy ra 0,15x = 100 hay

Từ đó .

Vậy có mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20% và mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% để pha chế thành 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.

a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = y + 3. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

3(y + 3) – 4y = 2, tức là 3y + 9 – 4y = 2, suy ra –y = –7 hay y = 7.

Từ đó x = 7 + 3 = 10.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (10; 7).

b) Từ phương trình thứ hai ta có y = –4x + 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

7x – 3(–4x + 2) = 13, tức là 7x + 12x – 6 = 13, suy ra 19x = 19 hay x = 1.

Từ đó y = –4 . 1 + 2 = –2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; –2).

c) Từ phương trình thứ hai ta có x = 3y – 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

0,5(3y – 2) – 1,5y = 1, tức là 1,5y – 1 – 1,5y = 1, suy ra 0y = 2. (1)

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được 3x + 2y + 2x – 2y = 20 hay 5x = 20, suy ra x = 4.

Thế x = 4 vào phương trình thứ nhất, ta được 3 . 4 + 2y = 6 hay 2y = –6, suy ra y = –3.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (4; –3).

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

b)

c) Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho 2 và chia hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được:

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = 0. Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức x – 3y = –4, suy ra

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là với x ∈ ℝ.

a) Với m = –2 ta có hệ phương trình .

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được: .

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 5y = –9 hay

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có hay suy ra

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

b) Với m = –3 ta có hệ phương trình .

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 9, ta được: .

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = –3. (1)

Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Với m = 3 ta có hệ phương trình .

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 9, ta được: .

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = –1. (1)

Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Ta đưa hệ phương trình đã cho về dạng .

Ta có a1 = 12, b1 = –5, c1 = –24, a2 = 5, b2 = 3, c2 = –10.

Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số a1 = 12, b1 = –5, c1 = –24, a2 = 5, b2 = 3, c2 = –10 bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm , màn hình cho x = –2 bấm tiếp bàn phím ), màn hình cho y = 0 (xem màn hình sau bước 3).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (–2; 0).

b) Ta có .

Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

c) Ta có .

Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Ta có .

Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm , màn hình cho bấm tiếp bàn phím ), màn hình cho y = –15 (xem màn hình sau bước 3).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là .