Giải SGK Toán 9 KNTT Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có $\sin α=\frac{h}{a}.$

Vậy ta sẽ xác định được “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h.

a) Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có:

$\widehat{A}=\widehat{{A}^{'}}=90^{\circ};\widehat{B}=\widehat{{B}^{'}}=α.$

Do đó ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (g.g).

b) Từ ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (câu a), suy ra: $\frac{AB}{{A}^{'}{B}^{'}}=\frac{AC}{{A}^{'}{C}^{'}}=\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}}$ (tỉ lệ các cạnh tương ứng).

Từ $\frac{AB}{{A}^{'}{B}^{'}}=\frac{AC}{{A}^{'}{C}^{'}},$ ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{{A}^{'}{B}^{'}}{{A}^{'}{C}^{'}}$ và $\frac{AC}{AB}=\frac{{A}^{'}{C}^{'}}{{A}^{'}{B}^{'}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Từ $\frac{AC}{{A}^{'}{C}^{'}}=\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}},$ ta có $\frac{AC}{BC}=\frac{{A}^{'}{C}^{'}}{{B}^{'}{C}^{'}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Từ $\frac{AB}{{A}^{'}{B}^{'}}=\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}},$ ta có $\frac{AB}{BC}=\frac{{A}^{'}{B}^{'}}{{B}^{'}{C}^{'}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Vậy $\frac{AC}{BC}=\frac{{A}^{'}{C}^{'}}{{B}^{'}{C}^{'}};\ \frac{AB}{BC}=\frac{{A}^{'}{B}^{'}}{{B}^{'}{C}^{'}};\ \frac{AC}{AB}=\frac{{A}^{'}{C}^{'}}{{A}^{'}{B}^{'}};\ \frac{AB}{AC}=\frac{{A}^{'}{B}^{'}}{{A}^{'}{C}^{'}}.$

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 5$^{2}$ + 12$^{2}$ = 169 nên BC = 13 (cm).

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang ta có:

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13},\ \cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13};\ \tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5};\ \cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}.$

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$, suy ra $BC=\sqrt{2{a}^{2}}=a\sqrt{2}$ (cm).

∆ABC vuông tại A có AB = AC nên ∆ABC vuông cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=45^{\circ}.$

a) Ta có: $\frac{AB}{BC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\frac{AC}{BC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Do đó $\sin 45^{\circ}=\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos 45^{\circ}=\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

b) Ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{a}{a}=1;\ \frac{AC}{AB}=\frac{a}{a}=1.$

Do đó $\tan 45^{\circ}=\tan B=\frac{AC}{AB}=1;\cot 45^{\circ}=\cot B=\frac{AB}{AC}=1.$

a) Tam giác ABC đều có đường cao AH nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó H là trung điểm của BC nên

$BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{2a}{2}=a.$

Xét ∆ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + HB$^{2}$, suy ra AH$^{2}$ = AB$^{2}$ – HB$^{2}$ = (2a)$^{2}$ – a$^{2}$ = 4a$^{2}$ – a$^{2}$ = 3a$^{2}$.

Do đó $AH=\sqrt{3{a}^{2}}=a\sqrt{3}.$

Ta có: $\tan C=\frac{AB}{AC},$ suy ra $AC=\frac{AB}{\tan C}=\frac{c}{\tan 45^{\circ}},$ mà tan45° = 1 nên $AC=\frac{c}{1}=c.$

Tương tự, $\sin C=\frac{AB}{AC},$ suy ra $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{c}{\sin 45^{\circ}},$ mà $\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $BC=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2c}{\sqrt{2}}=c\sqrt{2}.$

Xét ∆ABC vuông tại C, theo định nghĩa tỉ số lượng giác, ta có:

$sinα=\frac{BC}{AB};\ \cos α=\frac{AC}{AB};\ \tan α=\frac{BC}{AC};\ \cot α=\frac{AC}{BC};$

$sinβ=\frac{AC}{AB};\ \cos β=\frac{BC}{AB};\ \tan β=\frac{AC}{BC};\ \cot β=\frac{BC}{AC}.$

Từ đó ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cosβ; cotα = tanβ.

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, ta được:

sin40°54’ ≈ 0,655; cos52°15’ ≈ 0,612; tan69°36’ ≈ 2,689; cot25°18’ ≈ 2,116.

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có $\sin α=\frac{h}{a}=\frac{0{,}4}{4}=0{,}1,$ do đó α ≈ 5°44’.

b) Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°.

Vì α ≈ 5°44’ < 6° nên góc đó đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn.

Em đồng ý với ý kiến của bạn Tròn, tức là với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách AB.

Giải thích: Ta có $\tan α=\frac{AB}{BC},$ suy ra AB = BC.tanα = a.tanα.

Với α = 55°, a = 70 m, ta có: AB = 70.tan55° ≈ 99,97 (m).

Xét ∆ABC có $\widehat{B}=60^{\circ},$ cạnh kề với góc B là AB = 3 cm. Ta cần tính cạnh đối của góc B là AC.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có $\tan B=\frac{AC}{AB}.$

Suy ra $AC=AB.tanB=3tan60^{\circ}=3\sqrt{3}$ (cm).

Vậy cạnh đối của góc nhọn 60° là $3\sqrt{3}\text{cm}.$

Gọi hình chữ nhật trong bài là hình chữ nhật ABCD với chiều rộng là cạnh $AD=\sqrt{3},$ chiều dài là cạnh CD = 3, đường chéo AC, góc tạo bởi đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là góc α.

Xét ∆ABC vuông tại D, theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:

$\tan α=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},$ suy ra α = 60°.

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật đã cho là 60°.

a) Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

⦁ sin55° = cos(90° – 55°) = cos35°;

⦁ cos62° = sin(90° – 62°) = sin28°;

⦁ tan57° = cot(90° – 57°) = cot33°;

⦁ cot64° = tan(90° – 64°) = tan26°.

b) Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

⦁ $\frac{\tan 25^{\circ}}{\cot 65^{\circ}}=\frac{\cot (90^{\circ}-25^{\circ})}{\cot 65^{\circ}}=\frac{\cot 65^{\circ}}{\cot 65^{\circ}}=1;$

⦁ tan34° – cot56° = tan34° – tan(90° – 56°) = tan34° – tan34° = 0.

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, ta được:

sin40°12’ ≈ 0,645; cos52°54’ ≈ 0,603; tan63°36’ ≈ 2,014; cot35°20’ ≈ 1,411.