Giải SGK Toán 9 Cánh diều Bài 1. Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án

a) Xét ∆OMN ta có MN < OM + ON (1) (Bất đẳng thức tam giác).

b) Vì A, M, N, B cùng thuộc đường tròn (O) nên OA = OM = ON = OB.

Ta có: OM + ON = OA + OB.

Lại có AB = OA + OB, do đó OM + ON < AB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN < AB.

Nối OM, ON.

Xét ∆OMN, ta có: MN < OM + ON (Bất đẳng thức tam giác). (1)

Vì B, M, N, C cùng thuộc đường tròn (O) nên OA = OM = ON = OB.

Ta có: OM + ON = OB + OC.

Lại có BC là đường kính của đường tròn (O) nên BC = OB + OC.

Do đó OM + ON < BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN < AB.

a) Ta thấy A và B cùng thuộc đường tròn (O; R) nên OA = OB = R.

b) Vì M thuộc đường tròn (O; R) nên OM = R.

Mà OM = ON nên OM = ON = R, suy ra N thuộc đường tròn (O; R).

Nối OM, ON.

Xét ∆OMH (vuông tại H) và ∆ONH (vuông tại H) ta có:

MH = NH (do H là trung điểm của MN);

OH là cạnh chung.

Do đó ∆OMH = ∆ONH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng).

Mà M thuộc đường tròn (O; R) nên OM = R nên ON = R, do đó N thuộc đường tròn (O; R).

Để xác định tâm của hình đó ta làm theo ba bước sau:

Bước 1. Gấp đôi tờ giấy sao cho hai mép của tờ giấy trùng khít lên nhau ta được hình nửa đường tròn.

Bước 2. Tiếp tục gấp đôi tờ giấy hình nửa đường tròn đó sao cho mép của tờ giấy trùng khít lên nhau.

Bước 3. Mở tờ giấy ra ta thấy xuất hiện giao của hai đường kính, đó chính là tâm hình tròn cần tìm.

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt là R = 14 cm và r = 5 cm.

Do R – r = 14 – 5 = 9 (cm); R + r = 14 + 5 = 19 (cm)

Và 8 < 9 < 19 nên OO’ < R – r < R + r.

Vậy hai đường tròn (O; 14 cm) và (O’; 5 cm) không cắt nhau.

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt là r = 2,5 cm và R = 4,5 cm.

Để hai đường tròn đó tiếp xúc trong thì OO’ = R – r = 4,5 – 2,5 = 2 (cm).

Vậy OO’ = 2 cm thì hai đường tròn đó tiếp xúc trong.

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt là R = 11,5 cm và r = 6,5 cm.

Do R – r = 11,5 – 6,5 = 5 (cm) và 4 < 5 nên OO’ < R – r.

Vậy đường tròn (O; 11,5 cm) đựng đường tròn (O’; 6,5 cm).

Xét đường tròn đường kính AC, có dây cung CD, do đó CD < AC (trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).

Xét đường tròn đường kính AB, có dây cung AC, do đó AC < AB (trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).

Do đó CD < AC < AB.

a) Ta có:

⦁ Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) không có điểm chung;

⦁ OO’ > R + R’.

Do đó hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.

b) Ta có:

⦁ Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có 1 điểm chung duy nhất;

⦁ OO’ = R + R’.

Do đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài.

c) Ta có:

⦁ Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) không có điểm chung;

⦁ OO’ < R’ – R.

Do đó đường tròn (O’) đựng đường tròn (O).

d) Ta thấy hai đường tròn (O) và (O’) có 2 điểm chung nên hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau.

a) Hình vẽ:

b) Vì O nằm đường trung trực của đoạn thẳng MN nên OM = ON.

Mà OM = R (câu a) nên ON = R.

Vậy N thuộc đường tròn (O; R).

Vì AB là dây cung của đường tròn (O; R) nên OA = OB = R.

Mà AB = R nên OA = OB = AB = R.

Xét ∆OAB có OA = OB = AB = R nên ∆OAB là tam giác đều, suy ra $\widehat{AOB}=60^{\circ}.$

a) Một cặp đường tròn cắt nhau: Đường tròn màu đỏ và đường tròn màu vàng (khung đồng hồ).

b) Một cặp đường tròn tiếp xúc ngoài: Đường tròn màu xanh lá và đường tròn màu cam.

c) Một cặp đường tròn tiếp xúc trong: Đường tròn màu xanh cổ vịt (mặt đồng hồ) và đường tròn màu vàng (khung đồng hồ).

d) Một cặp đường tròn không giao nhau: Đường tròn màu vàng và đường tròn màu tím (quả lắc).

a) Vì AB là dây cung của đường kính (O; R) nên ta có OA = OB = R.

Khi đó, O nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có M là trung điểm của AB nên M cũng nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Vì M là trung điểm của AB nên ta có $MA=MB=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\text{(cm).}$

Vì OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OM ⊥ AB hay ∆OAM vuông tại M.

Theo định lí Pythagore ta có: OA$^{2}$ = OM$^{2}$ + AM$^{2}$

Suy ra OM$^{2}$ = OA$^{2}$ – AM$^{2}$ = 5$^{2}$ – 4$^{2}$ = 9.

Do đó OM = 3 cm.

Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là 3 cm.

a) Ta có: $\frac{O{A}^{'}}{OA}=\frac{r}{R};\ \frac{O{B}^{'}}{OB}=\frac{r}{R},$ suy ra $\frac{O{A}^{'}}{OA}=\frac{O{B}^{'}}{OB}.$

b) Xét ∆OAB có $\frac{O{A}^{'}}{OA}=\frac{O{B}^{'}}{OB}$ nên AB // A’B’ (theo định lí Thalès đảo).