Giải SGK Toán 8 KNTT Luyện tập chung trang 87 có đáp án

Trong Hình 4.30 có $\widehat{DEM}=\widehat{EMN}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // DE.

Áp dụng định lí Thalès vào tam giác DEF có MN // DE, ta có:

$\frac{MF}{MD}=\frac{NF}{NE}$ hay $\frac{2}{3}=\frac{x}{6}$.

Suy ra $x=\frac{2\ .\ 6}{3}=4$ (đvđd).

Vậy x = 4 (đvđd).

a) Vì E, K lần lượt là trung điểm của AD, AC nên EK là đường trung bình của tam giác ACD suy ra EK // CD.

Vì K, F lần lượt là trung điểm của AC, BC nên KF là đường trung bình của tam giác ABC suy ra KF // AB.

Vậy EK // CD, FK // AB.

b) Vì EK là đường trung bình của tam giác ACD nên $EK=\frac{1}{2}CD$;

Vì KF là đường trung bình của tam giác ABC nên $KF=\frac{1}{2}AB$.

Do đó $EK+KF=\frac{1}{2}(AB+CD)$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác KEF, ta có: EF < EK + KF (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $EF<\frac{1}{2}(AB+CD)$.

Theo đề bài, AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$, áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác ABC, ta có: $\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{DB}$ (1)

Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E hay DE // AB, áp dụng định lí Thalès vào tam giác ABC, ta có: $\frac{DC}{DB}=\frac{EC}{EA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{EA}$ (đpcm).

a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$.

Suy ra $\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}=\frac{DB+DC}{3+4}=\frac{BC}{7}=\frac{25}{7}$.

Do đó, $DB=\frac{25\ .\ 3}{7}=\frac{75}{7}$ (cm); $DC=\frac{25\ .\ 4}{7}=\frac{100}{7}$ (cm).

Vậy $DB=\frac{75}{7}$ cm; $DC=\frac{100}{7}$ cm.

) Hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh BC, ta gọi đường cao đó là AH.

Ta có: ${S}_{ABD}=\frac{1}{2}AH\ .\ DB;\ {S}_{ADC}=\frac{1}{2}AH\ .\ DC$.

Suy ra $\frac{{S}_{ABD}}{{S}_{ADC}}=\frac{\frac{1}{2}AH\ .\ BD}{\frac{1}{2}AH\ .\ DC}=\frac{DB}{DC}=\frac{3}{4}$.

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD bằng $\frac{3}{4}$.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC suy ra AN // cD, ad // ck.

Áp dụng định lí Thalès vào tam giác AMN có AN // CD, ta được:

$\frac{DM}{MN}=\frac{CM}{AM}$ (1)

Áp dụng định lí Thalès vào tam giác ADM có CK // AD, ta được:

$\frac{MK}{DM}=\frac{CM}{AM}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{DM}{MN}=\frac{MK}{DM}=\frac{CM}{AM}$.

Do đó DM$^{2}$ = MN . MK (đpcm).