Giải SGK Toán 8 CTST Bài 5. Phân thức đại số có đáp án

Ta lập được các biểu thức tính một trong ba đại lượng s, v và t theo hai đại lượng còn lại như sau: s = vt; v = $\frac{s}{t}$; t = $\frac{s}{v}$.

Trong ba biểu thức trên, chỉ có biểu thức s = vt là đa thức; hai biểu thức còn lại không phải là đa thức, vì hai biểu thức v = $\frac{s}{t}$ và t = $\frac{s}{v}$ có chứa phép chia giữa các biến.

a)

• Biểu thức biểu thị chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng 3 m$^{2}$ là: $\frac{3}{a}$ (m).

• Gọi t là thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm.

Vì thời gian làm việc và số sản phẩm làm được là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:

$\frac{t}{x}=\frac{1}{y}$, suy ra $t=\frac{x}{y}$ (giờ)

Vậy biểu thức biểu thị thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm là: $\frac{x}{y}$ (giờ).

• Diện tích của mảnh ruộng là: a + b (ha).

Mảnh ruộng cho thu hoạch được số tấn lúa là: m + n (tấn lúa).

Biểu thức biểu thị năng suất trung bình của mảnh ruộng gồm hai thửa đó là: $\frac{a+b}{m+n}$ (tấn/ha).

b) Các biểu thức trên đều là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.

Do đó các biểu thức này không phải là đa thức.

b) Tại $x=-\frac{1}{2}$ ta có mẫu thức có giá trị là: $2.(-\frac{1}{2})+1=-1+1=0$.

Khi đó giá trị của biểu thức P không xác định.

a) Xét phân thức $\frac{{x}^{2}-2x+1}{x+2}$

Điều kiện xác định của phân thức trên là x + 2 ≠ 0, hay x ≠ ‒2.

• Khi x = –3 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$\frac{{(-3)}^{2}-2.(-3)+1}{(-3)+2}=\frac{9+6+1}{-1}=-16$;

• Khi x = 1 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$\frac{{1}^{2}-2.1+1}{1+2}=\frac{1-2+1}{3}=0$.

b) Xét phân thức $\frac{xy-3{y}^{2}}{x+y}$

Điều kiện xác định của phân thức trên là x + y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x + y ≠ 0).

Khi x = 3 và y = –1 thì x + y = 2 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Khi đó ta có: $\frac{3.(-1)-3.{(-1)}^{2}}{3+(-1)}=\frac{-3-3}{2}=-3$.

• Khi x = 100, thay vào biểu thức C(x) ta được:

$C(100)=\frac{0,{0002.100}^{2}+120.100+1000}{100}$

$=\frac{2+12000+1000}{100}=\frac{13002}{100}=130{,}02$ (nghìn đồng).

• Khi x = 1000, thay vào biểu thức C(x) ta được:

$C(1000)=\frac{0,{0002.1000}^{2}+120.1000+1000}{1000}$

$=\frac{200+120000+1000}{1000}=\frac{121200}{1000}=121{,}2$ (nghìn đồng).

a) • Khi x = 3 và y = 2 ta có: $M=\frac{3}{2}$;

$N=\frac{{3}^{2}-3}{3.2-2}=\frac{9-3}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

• Khi x = ‒1 và y = 5 ta có: $M=\frac{-1}{5}$;

$N=\frac{{(-1)}^{2}-(-1)}{(-1).5-5}=\frac{1+1}{-5-5}=\frac{2}{-10}=\frac{-1}{5}$.

Nhận xét: Giá trị của M và N bằng nhau khi cho x và y nhận những giá trị thỏa mãn y ≠ 0 và xy – y ≠ 0.

b) • Nhân tử thức của phân thức M với mẫu thức của phân thức N ta được:

x.(xy – y) = x$^{2}$y – xy.

• Nhân tử thức của phân thức N với mẫu thức của phân thức M ta được:

(x$^{2}$ – x).y = x$^{2}$y – xy.

Ta thấy cả hai kết quả đều là đa thức x$^{2}$y – xy nên hai đa thức nhận được bằng nhau.

a) Ta có: xy$^{2}$.(x + 1) = x$^{2}$y$^{2}$ + xy$^{2}$;

(xy + y).xy = x$^{2}$y$^{2}$ + xy$^{2}$.

Do đó xy$^{2}$.(x + 1) = (xy + y).xy.

Vậy $\frac{x{y}^{2}}{xy+y}=\frac{xy}{x+1}$.

b) Ta có: (xy – y).y = xy$^{2}$ – y$^{2}$;

x.(xy – x) = x$^{2}$y – x$^{2}$.

Do đó (xy – y).y ≠ x.(xy – x)

Vậy hai phân thức $\frac{xy-y}{x}$ và $\frac{xy-x}{y}$ không bằng nhau.

a) • Xét hai phân thức $P=\frac{{x}^{2}y}{x{y}^{2}}$ và $Q=\frac{x}{y}$ ta có:

x$^{2}$y.y = x$^{2}$y$^{2}$;

xy$^{2}$.x = x$^{2}$y$^{2}$.

Do đó x$^{2}$y.y = xy$^{2}$.x

Vậy $\frac{{x}^{2}y}{x{y}^{2}}=\frac{x}{y}$ hay P = Q (1)

• Xét hai phân thức $Q=\frac{x}{y}$ và $R=\frac{{x}^{2}+xy}{xy+{y}^{2}}$ ta có:

x.(xy + y$^{2}$) = x$^{2}$y + xy$^{2}$;

y.(x$^{2}$ + xy) = x$^{2}$y + xy$^{2}$.

Do đó x.(xy + y$^{2}$) = y.(x$^{2}$ + xy)

Vậy $\frac{x}{y}=\frac{{x}^{2}+xy}{xy+{y}^{2}}$, hay Q = R (2)

Từ (1) và (2) ta có P = Q = R.

Vậy các phân thức P, Q và Q bằng nhau.

b) • Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức $Q=\frac{x}{y}$ với cùng đơn thức xy khác đa thức không thì được: $Q=\frac{x}{y}=\frac{x.xy}{y.xy}=\frac{{x}^{2}y}{x{y}^{2}}=P$.

• Ta có: $R=\frac{{x}^{2}+xy}{xy+{y}^{2}}=\frac{x(x+y)}{y(x+y)}$

Ta chia cả tử và mẫu của phân thức R cho cùng nhân tử chung là (x + y) thì được:

$R=\frac{{x}^{2}+xy}{xy+{y}^{2}}=\frac{x(x+y)}{y(x+y)}=\frac{[x(x+y)]:(x+y)}{[y(x+y)]:(x+y)}=\frac{x}{y}$.

Dùng tính chất cơ bản của phân thức

Ta có $\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}b+a{b}^{2}}=\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a+b)}=\frac{a-b}{ab}$.

Vậy $\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}b+a{b}^{2}}=\frac{a-b}{ab}$.

Trong các biểu thức trên, $\frac{3x+1}{2x-1}$ và 2x$^{2}$ – 5x + 3 là phân thức.

Biểu thức $\frac{x+\sqrt{x}}{3x+2}$ không phải là phân thức, vì $x+\sqrt{x}$ không phải là đa thức.

a) Xét phân thức $A=\frac{3{x}^{2}+3x}{{x}^{2}+2x+1}=\frac{3x(x+1)}{{(x+1)}^{2}}$

Điều kiện xác định của phân thức A là (x + 1)$^{2}$ ≠ 0, hay x + 1 ≠ 0, do đó x ≠ –1.

Với điều kiện xác định x ≠ –1 thì $A=\frac{3{x}^{2}+3x}{{x}^{2}+2x+1}=\frac{3x(x+1)}{{(x+1)}^{2}}=\frac{3x}{x+1}$.

Tại x = ‒ 4 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$A=\frac{3.(-4)}{(-4)+1}=\frac{-12}{-3}=4$.

b) Xét phân thức $B=\frac{ab-{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$.

Điều kiện xác định của phân thức B là a$^{2}$ – b$^{2}$ ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của a và b thỏa mãn a$^{2}$ – b$^{2}$ ≠ 0).

Với điều kiện xác định trên thì $B=\frac{ab-{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}=\frac{b(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{b}{a+b}$.

Tại a = 4 và b = ‒2 thì a$^{2}$ – b$^{2}$ = 12 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Khi đó, $B=\frac{-2}{4+(-2)}=\frac{-2}{2}=-1$.

) Xét hai phân thức $\frac{3ac}{{a}^{3}b}$ và $\frac{6c}{2{a}^{2}b}$ ta có:

3ac.2a$^{2}$b = 6a$^{3}$bc;

a$^{3}$b.6c = 6a$^{3}$bc.

Do đó 3ac.2a$^{2}$b = a$^{3}$b.6c

Vậy $\frac{3ac}{{a}^{3}b}=\frac{6c}{2{a}^{2}b}$.

b) Ta có: $\frac{3ab-3{b}^{2}}{6{b}^{2}}=\frac{3b(a-b)}{3b.2b}=\frac{a-b}{2b}$.

Vậy $\frac{3ab-3{b}^{2}}{6{b}^{2}}=\frac{a-b}{2b}$.

a) Ta có $\frac{2x+1}{x-1}=\frac{(2x+1).(x+1)}{(x-1).(x+1)}=\frac{2{x}^{2}+2x+x+1}{{x}^{2}-1}=\frac{2{x}^{2}+3x+1}{{x}^{2}-1}$

Vậy đa thức thay vào $\boxed{\ ?\ }$ là: 2x$^{2}$ + 3x + 1.

b) Ta có $\frac{{x}^{2}+2x}{{x}^{3}+8}=\frac{x(x+2)}{(x+2)({x}^{2}-2x+4)}=\frac{x}{{x}^{2}-2x+4}$.

Vậy đa thức thay vào $\boxed{\ ?\ }$ là: x.