Giải SGK Toán 8 CTST Bài 2. Tứ giác có đáp án

‒ Hình trên được tạo bởi 4 đoạn thẳng (CH, HR, RL, LC).

‒ Các đoạn thẳng này nối các địa điểm C (Châu Đốc), H (Hà Tiên), Q (Rạch Giá), L (Long Xuyên).

Ta vẽ các đường thẳng lần lượt chứa mỗi cạnh của các tứ giác như hình vẽ dưới đây:

Nhận xét:

• Hình a): các cạnh còn lại của tứ giác luôn nằm trong cùng một mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

• Hình b): các cạnh còn lại của tứ giác không nằm trong cùng một mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa cạnh BC (hoặc CD) của tứ giác.

• Hình c): các cạnh còn lại của tứ giác không nằm trong cùng một mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa cạnh BC (hoặc AD) của tứ giác.

Trong tứ giác MNPQ có:

‒ Hai đỉnh đối nhau: M và P; N và Q;

‒ Hai đường chéo: MP và NQ;

‒ Hai cạnh đối nhau: MN và PQ; MQ và NP.

Trong tứ giác Long Xuyên CHRL có:

• Các đỉnh: C, H, R, L;

• Các cạnh: CH, HR, RL, LC;

• Các đường chéo: CR và HL.

• Xét DACB có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Xét DACD có: $\widehat{CAD}+\widehat{ACD}+\widehat{ADC}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{CAD}+\widehat{ACD}+\widehat{ADC}=180^{\circ}+180^{\circ}=360^{\circ}$.

Vậy tổng các góc của tam giác ACB và tam giác ACD bằng 360°.

• Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{CAD}+\widehat{ACD}+\widehat{ADC}=360^{\circ}$

Suy ra $(\widehat{BAC}+\widehat{CAD})+\widehat{ABC}+(\widehat{ACB}+\widehat{ACD})+\widehat{ADC}=360^{\circ}$

Hay $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$.

Vậy tổng các góc của tứ giác ABCD bằng 360°.

• Hình 9a):

Xét tứ giác PQRS có: 80° + 70° + 2x + x = 360° (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra 3x = 360° – (80° + 70°) = 210°

Do đó x = 70°.

• Hình 9b):

Xét tứ giác ABCD có: x + 95° + 100° + 90° = 360° (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra x = 360° – (95° + 100° + 90°) = 75°.

• Hình 9c):

Xét tứ giác EFGH có: 99° + 90° + 90° + x = 360° (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra x = 360° – (99° + 90° + 90°) = 81°.

Xét DABC và DADC có:

AC là cạnh chung; AB = AD; BC = DC (giả thiết).

Do đó DABC = DADC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{D}$ (hai góc tương ứng).

Xét tứ giác ABCD có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra $130^{\circ}+\widehat{B}+60^{\circ}+\widehat{B}=360^{\circ}$

Hay $2\widehat{B}=360^{\circ}-(130^{\circ}+60^{\circ})=170^{\circ}$.

Do đó $\widehat{B}=85^{\circ}$.

Vậy $\widehat{B}=\widehat{D}=85^{\circ}$.

• Hình 11a):

Xét tứ giác ABCD có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra $\widehat{B}=360^{\circ}-(\widehat{A}+\widehat{C}+\widehat{D})$

Hay $\widehat{B}=360^{\circ}-(110^{\circ}+75^{\circ}+75^{\circ})=100^{\circ}$.

• Hình 11b):

Xét tứ giác MNPQ có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra $\widehat{M}=360^{\circ}-(\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q})$

Hay $\widehat{M}=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ}+70^{\circ})=110^{\circ}$.

***• Hình 11c):* **

Ta có $\widehat{TSV}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$ (do $\widehat{TSV}$ kề bù với góc có số đo bằng 60°)

Xét tứ giác STUV có: $\widehat{TSV}+\widehat{T}+\widehat{U}+\widehat{V}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra $\widehat{V}=360^{\circ}-(\widehat{TSV}+\widehat{T}+\widehat{U})$

Hay $\widehat{V}=360^{\circ}-(120^{\circ}+65^{\circ}+115^{\circ})=60^{\circ}$.

• Hình 11d):

Xét tứ giác EFGH có: $\widehat{E}+\widehat{F}+\widehat{G}+\widehat{H}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra $\widehat{F}=360^{\circ}-(\widehat{E}+\widehat{G}+\widehat{H})$

Hay $\widehat{F}=360^{\circ}-(80^{\circ}+70^{\circ}+100^{\circ})=110^{\circ}$.

Xét tứ giác ABCD có: ${\widehat{A}}_{2}+{\widehat{B}}_{2}+{\widehat{C}}_{2}+{\widehat{D}}_{2}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Mặt khác: ${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{A}}_{2}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)

Tương tự: ${\widehat{B}}_{1}+{\widehat{B}}_{2}=180^{\circ}$; ${\widehat{C}}_{1}+{\widehat{C}}_{2}=180^{\circ}$; ${\widehat{D}}_{1}+{\widehat{D}}_{2}=180^{\circ}$

Suy ra $({\widehat{A}}_{1}+{\widehat{A}}_{2})+({\widehat{B}}_{1}+{\widehat{B}}_{2})+({\widehat{C}}_{1}+{\widehat{C}}_{2})+({\widehat{D}}_{1}+{\widehat{D}}_{2})=180^{\circ}+180^{\circ}+180^{\circ}+180^{\circ}$

Hay ${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{B}}_{1}+{\widehat{C}}_{1}+{\widehat{D}}_{1}+({\widehat{A}}_{2}+{\widehat{B}}_{2}+{\widehat{C}}_{2}+{\widehat{D}}_{2})=720^{\circ}$

Do đó ${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{B}}_{1}+{\widehat{C}}_{1}+{\widehat{D}}_{1}+360^{\circ}=720^{\circ}$

Nên ${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{B}}_{1}+{\widehat{C}}_{1}+{\widehat{D}}_{1}=720^{\circ}-360^{\circ}=360^{\circ}$.

Vậy tổng số đo bốn góc ngoài ${\widehat{A}}_{1},{\widehat{B}}_{1},{\widehat{C}}_{1},{\widehat{D}}_{1}$ của tứ giác ABCD bằng 360°.

Do góc ngoài tại đỉnh B có số đo bằng 110° nên $\widehat{ABC}=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$.

Xét tứ giác ABCD có: $\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra $\widehat{D}=360^{\circ}-(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{C})$

Do đó $\widehat{D}=360^{\circ}-(100^{\circ}+70^{\circ}+75^{\circ})=115^{\circ}$.

Gọi ${\widehat{A}}_{1},{\widehat{B}}_{1},{\widehat{C}}_{1},{\widehat{D}}_{1}$ lần lượt là các góc ngoài tại đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C, đỉnh D (hình vẽ).

Áp dụng kết quả của Bài tập 2, trang 66 Sách giáo khoa Toán 8, Tập một cho tứ giác ABCD ta có: ${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{B}}_{1}+{\widehat{C}}_{1}+{\widehat{D}}_{1}=360^{\circ}$

Suy ra ${\widehat{D}}_{1}=360^{\circ}-({\widehat{A}}_{1}+{\widehat{B}}_{1}+{\widehat{C}}_{1})$

Do đó ${\widehat{D}}_{1}=360^{\circ}-(65^{\circ}+100^{\circ}+60^{\circ})=135^{\circ}$.

Vậy góc ngoài tại đỉnh D có số đo bằng 135°.

Xét tứ giác ABCD có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra x + 2x + 3x + 4x = 360°

Hay 10x = 360°

Do đó x = 36°.

Khi đó: $\widehat{A}=36^{\circ};\widehat{B}=2.36^{\circ}=72^{\circ};\widehat{C}=3.36^{\circ}=108^{\circ};\widehat{D}=4.36^{\circ}=144^{\circ}$.

Vậy $\widehat{A}=36^{\circ};\widehat{B}=72^{\circ};\widehat{C}=108^{\circ};\widehat{D}=144^{\circ}$.

Ta gọi tứ giác ABCD với AB = AD, CB = CD (Hình 13) là hình “cái diều”.

a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD.

b) Xét DABC và DADC có:

AC là cạnh chung; AB = AD; BC = DC (giả thiết).

Do đó DABC = DADC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{D}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{B}=95^{\circ}$ nên $\widehat{D}=95^{\circ}$.

Xét tứ giác ABCD có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra $\widehat{A}=360^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D})$

Do đó $\widehat{A}=360^{\circ}-(95^{\circ}+35^{\circ}+95^{\circ})=135^{\circ}$.

Vậy $\widehat{A}=135^{\circ}$ và $\widehat{D}=95^{\circ}$.

a) Tứ giác BDNQ có:

• Các cạnh kề: BD và BQ; DB và DN; ND và NQ; QN và QB;

• Các cạnh đối: BD và NQ; DN và BQ.