Giải SGK Toán 8 CTST Bài 1. Đơn thức và đa thức nhiều biến có đáp án

Có thể biểu thị diện tích của nền nhà bằng một biểu thức chứa x và y.

Ta chia nền nhà thành các hình chữ nhật ABCD, BEFG, GHKF như hình vẽ dưới đây.

Biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật ABCD là:

(x + x).x = 2x.x = 2x$^{2}$ (m$^{2}$).

Biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật BEFG là: xy (m$^{2}$).

Biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật GHKF là: 2x (m$^{2}$).

Diện tích nền nhà là tổng diện tích của các hình chữ nhật nên biểu thức biểu thị diện tích nền nhà là:

2x$^{2}$ + xy + 2x (m$^{2}$).

Trong biểu thức trên có chứa phép cộng, phép nhân.

a) Các biểu thức ở nhóm A là các biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Các biểu thức ở nhóm B và nhóm C là tổng, hiệu hoặc thương của các biểu thức đại số gồm một số, hoặc một tích giữa các số và các biến.

b) Các biểu thức ở nhóm A và nhóm B chỉ gồm tổng, hiệu hoặc tích giữa các số và các biến.

Các biểu thức ở nhóm C có xuất hiện phép chia giữa các biến hoặc phép toán lấy căn bậc hai số học của biến.

Trong các biểu thức trên:

a) Các đơn thức là: $\frac{4π{r}^{3}}{3};\ \frac{p}{2π};\ 0;\ \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

b) Các đa thức là: $\frac{4π{r}^{3}}{3};\ \frac{p}{2π};\ 0;\ \frac{1}{\sqrt{2}}$$\frac{4π{r}^{3}}{3};\ \frac{p}{2π};\ 0;\ \frac{1}{\sqrt{2}}$ ; ab – πr$^{2}$ và x$^{3}$ – x + 1.

Các đa thức đều có một hạng tử.

Đa thức ab – πr$^{2}$ có hai hạng tử; đa thức x$^{3}$ – x + 1 có ba hạng tử.

a) Biểu thức biểu thị diện tích bức tường hình thang (tính cả phần cửa sổ) là:

$\frac{1}{2}.(a+2a).h=\frac{3}{2}ah$ (m$^{2}$).

Biểu thức biểu thị diện tích của cửa sổ hình tròn là: πr$^{2}$ (m$^{2}$).

Biểu thức biểu thị diện tích bức tường không tính phần cửa sổ là:

$\frac{3}{2}$ah – πr$^{2}$ (m$^{2}$).

b) Thay a = 2 m; h = 3 m; r = 0,5 m vào biểu thức ở câu a và lấy π = 3,14 ta có:

$\frac{3}{2}$.2.3 – 3,14.0,5$^{2}$ = 9 – 0,785 = 8,215 (m$^{2}$).

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ta được diện tích bức tường không tính phần cửa sổ là 8,22 (m$^{2}$).

Thể tích của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc (đơn vị thể tích).

Do đó thể tích của hình hộp chữ nhật ở Hình 2 là:

V = 3x.y.2x = 3xy.2x = (3.2).(x.x).y = 6.x$^{1+1}$.y = 6x$^{2}$y (đơn vị thể tích).

Vậy kết quả của hai bạn An và Tâm đều đúng, tuy nhiên kết quả của bạn Tâm gọn hơn.

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật A là:

3x.y.x = 3x$^{2}$y (đơn vị thể tích).

Thể tích của hình hộp chữ nhật B là:

x.2x.y = 2x$^{2}$y (đơn vị thể tích).

Tổng thể tích của hình hộp chữ nhật A và B là:

3x$^{2}$y + 2x$^{2}$y = (3 + 2)x$^{2}$y = 5x$^{2}$y (đơn vị thể tích).

b) Thể tích của A lớn hơn thể tích của B là:

3x$^{2}$y – 2x$^{2}$y = (3 – 2)x$^{2}$y = x$^{2}$y (đơn vị thể tích).

b) Đơn thức 2xy có phần biến là xy;

Đơn thức xy$^{2}$ có phần biến là xy$^{2}$.

Phần biến của hai đơn thức khác nhau nên hai đơn thức 2xy và xy$^{2}$ không phải là hai đơn thức đồng dạng.

c) Ta có –4yzx$^{2}$ = –4x$^{2}$yz, đơn thức này có phần biến là x$^{2}$yz;

Đơn thức 4x$^{2}$yz có phần biến là x$^{2}$yz.

Vậy hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến nên là hai đơn thức đồng dạng.

• Thay x = –2 và y = $\frac{1}{3}$ vào đa thức A = 5x$^{2}$ – 4xy + 2x – 4x$^{2}$ + xy ta được:

A = 5.(–2)$^{2}$ – 4.(–2).$\frac{1}{3}$ + 2.(–2) – 4.(–2)$^{2}$ + (–2).$\frac{1}{3}$

= 20 + – 4 – 16 – $\frac{2}{3}$

= 2.

• Thay x = –2 và y = $\frac{1}{3}$ vào đa thức B = x$^{2}$ – 3xy + 2x ta được:

B = (–2)$^{2}$ – 3.(–2). $\frac{1}{3}$ + 2.(–2) = 4 + 2 – 4 = 2.

Vậy giá trị của hai biểu thức A và B bằng nhau.

a) A = x – 2y + xy – 3x + y$^{2}$

= (x – 3x) – 2y + xy + y$^{2}$

= –2x – 2y + xy + y$^{2}$

Bốn hạng tử của A lần lượt có bậc là 1; 1; 2; 2. Do đó bậc của đa thức A bằng 2.

b) B = xyz – x$^{2}$y + xz –$\frac{1}{2}$ xyz +$\frac{1}{2}$ xz

$=(xyz-\frac{1}{2}xyz)-{x}^{2}y+(xz+\frac{1}{2}xz)$

$=\frac{1}{2}xyz-{x}^{2}y+\frac{3}{2}xz$

Ba hạng tử của B lần lượt có bậc là 3; 3; 2. Do đó bậc của đa thức B bằng 3.

Thu gọn đa thức A:

A = 3x$^{2}$y – 5xy – 2x$^{2}$y – 3xy

= (3x$^{2}$y – 2x$^{2}$y) + (– 5xy – 3xy)

= x$^{2}$y – 8xy

Thay x = 3 và y = $-\frac{1}{2}$ vào đa thức A thu gọn ở trên ta được:

$A={3}^{2}.(-\frac{1}{2})-8.3.(-\frac{1}{2})=-\frac{9}{2}+12=\frac{15}{2}$.

a) Biểu thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

V = 3a.2a.h = 6a$^{2}$h (cm$^{3}$).

Biểu thức biểu thị diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó là:

S$_{xq}$ = 2.(3a + 2a).h = 2.5a.h = 10ah (cm$^{2}$).

b) Thay a = 2 cm và h = 5 cm vào biểu thức V = 6a$^{2}$h ta được:

V = 6.2$^{2}$.5 = 120 (cm$^{3}$).

Thay a = 2 cm và h = 5 cm vào biểu thức S$_{xq}$ = 10ah ta được:

S$_{xq}$ = 10.2.5 = 100 (cm$^{2}$).

Vậy khi a = 2 cm; h = 5 cm thì thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật lần lượt là 120 cm$^{3}$ và 100 cm$^{2}$.

Các đơn thức là: –3; 2z; –10x$^{2}$yz.

Các đa thức là: –3; 2z; –10x$^{2}$yz; $\frac{1}{3}$ xy + 1; 5x – $\frac{z}{2}$ .

Thu gọn các đơn thức:

• 5xyx = 5(x.x)y = 5x$^{2}$y;

• –xyz$\frac{2}{3}$y = –$\frac{2}{3}$x(y.y)z = –$\frac{2}{3}$xy$^{2}$z;

• $-2{x}^{2}(-\frac{1}{6})x=[(-2).(-\frac{1}{6})].({x}^{2}.x)=\frac{1}{3}{x}^{3}$ .

Ta có:

a) M = x – 3 – 4y + 2x – y

= (x + 2x) + (–4y – y) – 3

= 3x – 5y – 3

Ba hạng tử của đa thức M có bậc lần lượt là 1; 1; 0. Do đó bậc của đa thức M bằng 1.

b) N = –x$^{2}$t + 13t$^{3}$ + xt$^{2}$ + 5t$^{3}$ – 4.

= –x$^{2}$t + (13t$^{3}$ + 5t$^{3}$) + xt$^{2}$ – 4

= –x$^{2}$t + 18t$^{3}$ + xt$^{2}$ – 4

Thu gọn đa thức P:

P = 3xy$^{2}$ – 6xy + 8xz + xy$^{2}$ – 10xz

= (3xy$^{2}$ + xy$^{2}$) – 6xy + (8xz – 10xz)

= 4xy$^{2}$ – 6xy – 2xz.

Thay x = –3; y = $-\frac{1}{2}$ và z = 3 vào đa thức P ta được:

$P=4.(-3).{(-\frac{1}{2})}^{2}-6.(-3).(-\frac{1}{2})-2.(-3).3$

Vậy giá trị của biểu thức P đã cho tại x = –3; y = ; z = 3 là 6.

Biểu thức biểu thị thể tích V của hình hộp chữ nhật trong Hình 5 là:

V = 3x.4y.2z = 24xyz (đơn vị thể tích).

Biểu thức biểu thị diện tích xung quanh S của hình hộp chữ nhật trong Hình 5 là:

S = 2.(3x + 4y).2z = 4z(3x + 4y) (đơn vị diện tích).

Thay x = 4 cm, y = 2 cm và z = 1 cm vào biểu thức V, S ta được:

V = 24xyz = 24.4.2.1 = 192 (cm$^{3}$).

S = 4.1.(3.4 + 4.2) = 4.(12 + 8) = 80 (cm$^{2}$).