Giải SGK Toán 8 Cánh diều Bài 16. Hình thang cân có đáp án

Sau bài học này chúng ta giải quyết được câu hỏi trên như sau:

‒ Hình thang cân có những tính chất sau:

+ Hai cạnh đáy song song với nhau;

+ Hai cạnh bên bằng nhau;

+ Hai đường chéo bằng nhau.

‒ Dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình thang cân:

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và có hai góc kề một đáy bằng nhau;

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và có hai đường chéo bằng nhau.

b) • Xét tam giác EAB có $\widehat{EAB}=\widehat{EBA}$ (câu a) nên là tam giác cân tại E

Suy ra EA = EB.

• Xét tam giác EDC có $\widehat{EDC}=\widehat{ECD}$ (câu a) nên là tam giác cân tại E

Suy ra ED = EC.

• Ta có AD = ED – EA

BC = EC – EB.

Mặt khác EA = EB và ED = EC

Do đó AD = BC.

c) Xét ΔADC và ΔBCD có:

AD = BC (theo câu b);

$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ (theo câu a);

DC là cạnh chung

Do đó ΔADC = ΔBCD (c.g.c)

Suy ra AC = BD (hai cạnh tương ứng).

Do ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên AD = BC và AC = BD.

Xét ΔADB và ΔBCA có:

AB là cạnh chung;

AD = BC (chứng minh trên);

BD = AC (chứng minh trên)

Do đó ΔADB = ΔBCA (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{BCA}$ (hai cạnh tương ứng).

b) Do ΔABC = ΔECB (theo câu a) nên AC = EB (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = BD (giả thiết)

Suy ra BD = BE nên tam giác BDE là tam giác cân tại B.

Suy ra $\widehat{BDE}=\widehat{BED}$ (tính chất tam giác cân).

Do BE // AC nên $\widehat{ACD}=\widehat{BED}$ (đồng vị).

Giả sử ô cửa sổ được mô tả như hình vẽ dưới đây:

• Xét ΔAHD và ΔBKC có:

$\widehat{AHD}=\widehat{BKC}=90^{\circ}$; AH = BK; HD = KC.

Do đó ΔAHD = ΔBKC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{ADH}=\widehat{BCK}$ (hai góc tương ứng).

• Xét tứ giác ABCD có AB // DC (do AB // HK) nên là hình thang.

Lại có $\widehat{ADH}=\widehat{BCK}$ (chứng minh trên)

Suy ra hình thang ABCD là hình thang cân.

Vậy sau khi mở rộng thì ô cửa sổ đó có dạng hình thang cân.

• Ta có AB = HK = 80 cm.

DC = DH + HK + KC = 20 + 80 + 20 = 120 (cm).

Diện tích của ô cửa sổ sau khi mở rộng là:

$S=\frac{1}{2}.(AB+DC).AH=\frac{1}{2}.(80+120).120=12\ 000\ (c{m}^{2})$.

a) Do ABCD là hình thang cân nên AC = BD và AD = BC (tính chất hình thang cân).

Xét ΔADC và ΔBCD có:

AD = BC; AC = BD; DC là cạnh chung

Do đó ΔADC = ΔBCD (c.c.c)

Suy ra $\widehat{CAD}=\widehat{DBC}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{TAD}=\widehat{TBC}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có: ΔABD = ΔBAC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BDA}=\widehat{ACB}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{TDA}=\widehat{TCB}$.

b) Xét ΔTAD và ΔTBC có:

$\widehat{TAD}=\widehat{TBC}$; AD = BC; $\widehat{TDA}=\widehat{TCB}$.

Do đó ΔTAD = ΔTBC (g.c.g).

Suy ra TA = IB và TD = TC (các cặp cạnh tương ứng).

c) • Do TA = TB nên tam giác TAB cân tại T.

ΔTAB cân tại T có TM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao do đó TM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên TM ⊥ AB.

• Do TD = TC nên tam giác TCD cân tại T.

ΔTCD cân tại T có TN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao do đó TN là đường trung trực của đoạn thẳng CD nên TN ⊥ CD.

• Do AB // CD, TM ⊥ AB, TN ⊥ CD nên T, M, N thẳng hàng

Hay MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

a) Do ΔABE, ΔBED, ΔBDC là các tam giác đều nên $\widehat{ABE}=\widehat{EBD}=\widehat{DBC}=60^{\circ}$

Do đó, $\widehat{ABC}=\widehat{ABE}+\widehat{EBD}+\widehat{DBC}=60^{\circ}+60^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$

Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Do ΔABE, ΔBED là các tam giác đều nên $\widehat{ABE}=\widehat{BED}=60^{\circ}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // ED

Tứ giác ACDE có AC // ED nên là hình thang.

Mặt khác, $\widehat{EAC}=\widehat{DCA}=60^{\circ}$ (do ΔABE, ΔBDC là các tam giác đều)

Do đó hình thang ACDE là hình thang cân.

b) • Do ΔBCD là tam giác đều nên đường cao BH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác

Do đó H là trung điểm của BC nên $HC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.2=1\ (m)$.

Xét ΔDHC vuông tại H, theo định lí Pythagore có:

CD2 = HC2 + DH2

Suy ra DH2 = CD2 – HC2 = 22 – 12 = 3.

Do đó DH = $\sqrt{3}$ (m).

• Do ΔABE là tam giác đều nên AB = AE = 2 m.

Khi đó AC = AB + BC = 2 + 2 = 4 (m).

c) Diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước là:

${S}_{AEDC}=\frac{1}{2}.(ED+AC).DH=\frac{1}{2}.(2+4).\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ ({m}^{2})$ .