Giải SGK Toán 8 Cánh diều Bài 14. Định lí Pythagore có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Bạn Đan đã dựa vào Định lí Pythagore để đưa ra khẳng định “Diện tích của hình vuông lớn nhất bằng tổng diện tích của hai hình vuông còn lại”.

Thật vậy, giả sử A, B, C là ba đỉnh của tam giác (vuông tại A) và độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là a, b, c (hình vẽ).

Diện tích hình vuông nhỏ màu xanh lá cây là: a2 (đơn vị diện tích).

Diện tích hình vuông nhỏ màu xanh nước biển là: b2 (đơn vị diện tích).

Diện tích hình vuông lớn màu tím là: c2 (đơn vị diện tích).

Do tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có BC2 = AB2 + AC2

Hay c2 = a2 + b2.

Vậy diện tích của hình vuông lớn nhất bằng tổng diện tích của hai hình vuông còn lại.

c) Diện tích của hình vuông ABCD là: S1 = (b + c)2 (đơn vị diện tích).

Diện tích của hình vuông MNPQ là: a2 (đơn vị diện tích).

Diện tích của tam giác vuông AQM là: $\frac{1}{2}bc$ (đơn vị diện tích).

Tổng diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ là:

$4.\frac{1}{2}bc=2bc$ (đơn vị diện tích).

Khi đó ta có: S2 = a2 + 2bc (đơn vị diện tích).

d) Theo câu b, ta có: diện tích của hình vuông ABCD bằng tổng diện tích của hình vuông MNPQ và diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ, hay S1 = S2

Do đó (b + c)2 = a2 + 2bc

Hay b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc

Suy ra b2 + c2 = a2.

Vậy a2 = b2 + c2.

Do tam giác ABC vuông tại B nên theo định lí Pythagore ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2

Suy ra $AC=\sqrt{2{a}^{2}}=\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2}.{a}^{2}}=\sqrt{{(\sqrt{2}.a)}^{2}}=a\sqrt{2}$.

Vậy độ dài đường chéo của hình vuông đó là $a\sqrt{2}$.

a) Vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm.

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AC = 4 cm.

Bước 2. Vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm.

Bước 3. Vẽ cung tròn tâm C bán kính 5 cm.

Bước 4. Hai cung tròn trên cắt nhau tại hai điểm. Lấy 1 trong 2 giao điểm đó, kí hiệu là điểm B.

Nối các đoạn thẳng BA, BC ta được tam giác ABC như yêu cầu.

b) Diện tích của hình vuông có cạnh AB = 3 cm là: 32 = 9 (cm2).

Diện tích của hình vuông có cạnh AC = 4 cm là: 42 = 16 (cm2).

Tổng diện tích của hai hình vuông trên là: 9 + 16 = 25 (cm2).

Diện tích của hình vuông có cạnh BC = 5 cm là: 52 = 25 (cm2).

Vậy diện tích của hình vuông có cạnh BC bằng tổng diện tích của hai hình vuông tương ứng có cạnh AB và AC.

Giả sử tam giác ABC có AB = 20 cm, AC = 21 cm và BC = 29 cm.

Xét tam giác ABC có:

AB2 + AC2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 841 (cm2) và BC2 = 292 = 841 (cm2).

Suy ra AB2 + AC2 = BC2.

Do đó tam giác ABC vuông tại A (theo định lí Pythagore đảo).

Vậy tam giác có ba cạnh là 20 cm, 21 cm, 29 cm là tam giác vuông.

Do tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ (1)

a) Từ (1) suy ra AC$^{2}$ = BC$^{2}$ – AB$^{2}$ = 17$^{2}$ – 8$^{2}$ = 289 – 64 = 225 = 15$^{2}$

Do đó AC = 15 (cm).

b) Từ (1) suy ra BC$^{2}$ = 20$^{2}$ + 21$^{2}$ = 400 + 441 = 841 = 29$^{2}$

Do đó BC = 29 (cm).

c) Từ (1) suy ra BC2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 72

Do đó $BC=\sqrt{72}=\sqrt{36.2}=\sqrt{{6}^{2}.{(\sqrt{2})}^{2}}=\sqrt{{(6\sqrt{2})}^{2}}=6\sqrt{2}\ (cm)$.

a) Ta có: 12$^{2}$ + 35$^{2}$ = 144 + 1 225 = 1 369 và 37$^{2}$ = 1 369.

Suy ra 12$^{2}$ + 35$^{2}$ = 37$^{2}$

Do đó theo định lí Pythagore đảo, tam giác có độ dài ba cạnh 12 cm, 35 cm, 37 cm là tam giác vuông.

b) Ta có: 7$^{2}$ + 8$^{2}$ = 49 + 64 = 113 và 10$^{2}$ = 100.

Suy ra 7$^{2}$ + 8$^{2}$ ≠ 10$^{2}$.

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh 10 cm, 7 cm, 8 cm không phải là tam giác vuông.

c) Ta có: 6$^{2}$ + 7$^{2}$ = 36 + 49 = 85 và 11$^{2}$ = 121.

Suy ra 6$^{2}$ + 7$^{2}$ ≠ 11$^{2}$.

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh 11 cm, 6 cm, 7 cm không phải là tam giác vuông.

Do tam giác đã cho là tam giác vuông cân nên độ dài hai cạnh góc vuông cùng bằng 1 dm

Khi đó theo định lí Pythagore, độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân đó là:

$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}\ (dm)$.

Giả sử ABC là tam giác đều cạnh a (hình vẽ).

a) Vẽ đường cao AH của tam giác đều ABC.

Khi đó H là trung điểm của BC nên HB = HC = $\frac{1}{2}a$.

Xét tam giác AHC vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

AC2 = AH2 + HC2

Suy ra AH2 = AC2 – HC2

$={a}^{2}-{(\frac{1}{2}a)}^{2}={a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}={(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}.{a}^{2}={(\frac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Do đó $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

b) Diện tích của tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AH.BC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích).

Do bức tường vuông góc với mặt đất nên thanh gỗ dựa vào tường tạo thành một tam giác vuông ABC được mô tả như hình vẽ dưới đây.

Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$

Suy ra BC$^{2}$ = AB$^{2}$ – AC$^{2}$ = 3,5$^{2}$ – 2,1$^{2}$ = 12,25 – 4,41 = 7,84 = 2,8$^{2}$

Do đó BC = 2,8 m.

Vậy khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là 2,8 mét.

Mặt cắt đứng của sân khấu ngoài trời có mái che ở Hình 10 được mô tả như hình vẽ dưới đây.

Ta có: AB = BH – AH = BH – CK = 7 – 6 = 1 (m).

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 1$^{2}$ + 5$^{2}$ = 1 + 25 = 26.

Suy ra $BC=\sqrt{26}=5{,}099019514...\approx \ 5{,}10\ (m)$.

Vậy chiều dài của mái che sân khấu đó khoảng 5,10 mét.