Giải SGK Toán 8 Bài 2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này, ta giải quyết bài toán trên như sau:

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;

$\frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$;

$\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}$.

Do đó $\frac{{A'B'}}{{AB}} = \;\frac{{A'C'}}{{AC}} = \;\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{1}{3}$.

b) Tam giác ABC có $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}$, theo định lí Thalès đảo suy ra MN // BC.

Khi đó ΔAMN ᔕ ΔABC nên $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{3}$ suy ra MN = 4.

c) Xét tam giác AMN và A*'B'C'* có:

• MN = B*'C'* = 4;

• AM = A*'B'* = 2;

• AN = A*'C'* = 3.

Suy ra ΔAMN = ΔA′B′C′ (c.c.c).

Nhận xét: ΔAMN = ΔA′B′C′, ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC và ΔAMN ᔕ ΔABC.

Lời giải:

• Hình a) và c) là cặp tam giác đồng dạng vì có tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau: $\frac{{21}}{7} = \frac{{25}}{{8\frac{1}{3}}} = \frac{9}{3} = 3$.

• Hình b) và d) là cặp tam giác đồng dạng vì có tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau: $\frac{{14}}{7} = \frac{{14}}{7} = \frac{6}{3} = 2$.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thalès, ta có: $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$.

b) Ta có $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}};\;\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DF}}{{AC}} = \frac{1}{3}$; AM = DF suy ra AN = DF.

c) Tam giác ABC có MN cắt AB, AC lần lượt tại M và N và MN // BC.

Do đó ΔAMN ᔕ ΔABC.

d) Xét ∆DEF và ∆AMN có:

$$\widehat D = \widehat A$$

DE = AM (gt)

DF = AN (cmt)

Do đó ΔDEF = ΔAMN (c.g.c)

Dự đoán: ΔDEF ᔕ ΔABC.

Lời giải:

Ta có: $\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{3}{4};\;\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Suy ra $\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AD}}{{AC}}$.

Xét ΔADE và ΔACF có:

$\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AD}}{{AC}}$ (cmt)

$\widehat {DAE} = \widehat {CAF}$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy ΔADE ᔕ ΔACF (c.g.c).

Lời giải:

a) Tam giác ABC có DE // AB nên ΔDEC ᔕ ΔABC.

b) ΔDEC ᔕ ΔABC, do đó $\widehat D = \widehat A$

Xét ΔA′B′C và ΔDEC có:

$\widehat {A'} = \widehat D$ (cùng bằng $\widehat A$)

A*'C'* = DC (gt)

$\widehat {C'} = \widehat C$ (gt)

Suy ra ΔA′B′C′ = ΔDEC (g.c.g).

c) Từ câu b, ta có: ΔA′B′C′ = ΔDEC.

Dự đoán: ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có: $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 41^\circ$.

Xét ΔABC và ΔA*'B'C'* có:

$$\widehat A = \widehat {A'} = 79^\circ$$

$$\widehat C = \widehat {C'} = 41^\circ$$

Suy ra ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ (g.g).

b) ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ nên $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ

Hay $\frac{4}{6} = \frac{6}{{B'C'}}$ nên $B'C' = \frac{{6\,.\,6}}{4} = 9$ (cm).

Vậy B*'C' =* 9 cm.

Lời giải:

Ta có AB // CD nên $\widehat {OAB} = \widehat {OCD},\;\widehat {OBA} = \widehat {ODC}$ (cặp góc so le trong)

Suy ra ΔOAB ᔕ ΔOCD nên $\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{6}{{15}}$ suy ra $OB = \frac{{15}}{6}$.

Lời giải:

Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c)

Lời giải:

a) Xét ∆AFE và ∆MNG có:

$\frac{{AF}}{{MN}} = \frac{b}{{3b}} = \frac{1}{3};\;\frac{{FE}}{{NG}} = \frac{a}{{3a}} = \frac{1}{3};\;\frac{{AE}}{{MG}} = \frac{c}{{3c}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{{AF}}{{MN}} = \frac{{FE}}{{NG}} = \;\frac{{AE}}{{MG}}$.

Vậy ΔAFE ᔕ ΔMNG (c.c.c).

b) Tam giác AFE đồng dạng với tam giác MNG theo tỉ số $\frac{1}{3}$ nên tỉ số chu vi của hai tam giác đó cũng bằng $\frac{1}{3}$.

Vậy chu vi tam giác MNG là: 15.3 = 45 (cm).

Lời giải:

Chu vi tam giác ABC: AB + AC + BC = 19.

Tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và A*'B'C'* là: $k = \frac{{19}}{{66{,}5}} = \frac{2}{7}$.

ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ nên $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{2}{7}$.

Vậy: A′B′=14, A′C′=21, $B'C' = \frac{{63}}{2}$.

Lời giải:

Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 600.m tương ứng với cạnh ngắn nhất của con đường bên trong là 300 m.

Do đó, con đường bên trong đồng dạng với con đường bên ngoài theo tỉ số $k = \frac{{300}}{{600}} = \frac{1}{2}$ nên tỉ số độ dài 2 con đường cũng bằng $\frac{1}{2}$.

Độ dài con đường bên trong là: 300 + 350 + 550 = 1200 (m).

Độ dài con đường bên ngoài: 2.1200 = 2400 (m)

Độ dài quãng đường Nam chạy: 4.1200 = 4800 (m).

Độ dài quãng đường Hùng chạy: 2.2400 = 4800 (m).

Vậy quãng đường chạy được của hai bạn bằng nhau.

Trường hợp đồng dạng thứ hai (c.g.c)

Lời giải:

Xét ΔDEF và ΔABC có:

$$\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DF}}{{AC}} = \frac{1}{2}$$

$$\widehat D = \widehat A = 120^\circ$$

Vậy ΔDEF ᔕ ΔABC (c.g.c).

Lời giải:

Xét ΔDEF và ΔMNP ta có:

$$\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{{EF}}{{NP}} = \frac{3}{5}$$

$\widehat E = \widehat N$ (gt)

Do đó ΔDEF ᔕ ΔMNP (c.g.c)

Suy ra $\widehat F = \widehat P = 42^\circ$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat F = 42^\circ$.

Lời giải:

a) Xét ΔAFE và ΔABC có:

$$\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}$$

$\widehat A$ chung

Do đó ΔAFE ᔕ ΔABC (c.g.c)

Suy ra $\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{8}{{12}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{{EF}}{{18}} = \frac{2}{3}$ suy ra $EF = \frac{{18\,.\,2}}{3} = 12$ (cm).

Vậy EF = 12 cm.

b) Xét ΔABC và ΔMED ta có:

$$\frac{{BC}}{{ED}} = \frac{{AC}}{{MD}} = \frac{3}{4}$$

$\widehat C = \widehat D$ (tam giác FDC cân)

Vậy ΔABC ᔕ ΔMED (c.g.c).

Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)

Lời giải:

a) Xét ΔBNM và ΔABC ta có:

MN // BC nên $\widehat {MNB} = \widehat {ABC}$ (hai góc so le trong)

MB // AC nên $\widehat {MBN} = \widehat {BAC}$ (hai góc so le trong)

Vậy ΔBNM ᔕ ΔABC (g.g).

b) Do ΔBNM ᔕ ΔABC (cmt) nên $\widehat C = \widehat M = 48^\circ$.

Lời giải:

a) Xét ΔMNP và ΔDEF có:

$$\widehat N = \widehat E,\;\widehat M = \widehat D$$

Do đó ΔMNP ᔕ ΔDEF (g.g)

Suy ra $\frac{{NP}}{{EF}} = \frac{{MP}}{{DF}}$ (các cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{{a + 3}}{{32}} = \frac{{18}}{{24}} = \frac{3}{4}$ nên $a + 3 = \frac{{32\,.\,\,3}}{4} = 24$ (cm).

Vậy a = 24 – 3 = 21.

b) Xét hình thang ABCD (AB // CD):

Vì AB // CD nên $\widehat {MAB} = \widehat {MCD},\;\widehat {MBA} = \widehat {MDC}\;$ (cặp góc so le trong).

Xét ΔAMB và ΔCMD có:

$\widehat {MAB} = \widehat {MCD}\;$ (chứng minh trên)

$\widehat {MBA} = \widehat {MDC}$ (chứng minh trên)

Do đó ΔAMB ᔕ ΔCMD (g.g)

Suy ra $\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{AB}}{{CD}}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{6}{{15}} = \frac{y}{{10}} = \frac{8}{x}$.

Suy ra $x = \frac{{15\,.\,8}}{6} = 20;y = \frac{{6\,.\,10}}{{15}} = 4$.

Vậy x = 20; y = 4.

Lời giải:

a) Xét ΔHOP và ΔHPE có:

$\widehat {HOP} = \widehat {HPE}$ (gt)

$\widehat {HPO} = \widehat {HEP}$ (gt)

Do đó ΔHOP ᔕ ΔHPE (g.g)

Suy ra $\frac{{HO}}{{HP}} = \frac{{HP}}{{HE}}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{6}{{HP}} = \frac{{HP}}{4}$ nên HP = 6.4 = 24.

Vậy $HP = 2\sqrt 6$ cm.

b) Xét ΔAEM và ΔAMF ta có:

$\widehat A$ chung

$$\widehat {AME} = \widehat {AFM}$$

Do đó ΔAEM ᔕ ΔAMF (g.g)

Suy ra $\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AF}}$ nên AM$^{2}$ = AE.AF (đpcm).

Lời giải:

Xét ΔIAB và ΔICD ta có:

$\widehat B = \widehat {D\;}$ (gt)

$\widehat {AIB} = \widehat {CID}$ (đối đỉnh)

Suy ra ΔIAB ᔕ ΔICD (g.g) nên $\frac{{IA}}{{TC}} = \frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{CD}}$

$\Rightarrow \frac{{IA}}{{2{,}4}} = \frac{{7{,}8}}{{ID}} = \frac{9}{3} = 3\;$ ⇒ IA = 7,2; ID = 2,6

Quãng đường đi từ M → A → I là: 4,73 + 7,2 = 11,93 (km)

Quãng đường đi từ M → B → I là: 4,27 + 7,8 = 12,07 (km)

Quãng đường đi từ I → C → N là: 2,4 + 1,84 = 4,24 (km)

Quãng đường đi từ I → D → N là: 2,6 + 1,16 = 3,76 (km)

Vậy quãng đường ngắn nhất để đi từ nhà của anh Thanh đến công ty là M → A → I → D → N với độ dài 15,69 km.